10. Интегралнинг чизиқлилик ҳамда аддитивлик хоссалари

1⁰. Аниқ интегралларни таърифга кўра ҳисоблаш. Айтайлик, бўлсин. Унда интеграл таърифига кўра

бўлади.
1-Мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄ Равшанки, . Демак, . оралиқни ушбу

нуқталар ёрдамида, бунда та тенг бўлакка бўлиб, ҳар бир

бўлакда нуқтани қуйидагича

танлаймиз. У ҳолда функциянинг интеграл йиғиндиси қуйидагича

кўринишга эга бўлади.
Маълумки,


бўлади.
Натижада интеграл йиғинди учун ушбу

тенгликка келамиз.
Кейинги тенгликда да лимитга ўтиб топамиз:
. ►
2⁰. Ньютон-Лейбниц формуласи. Айтайлик, функция сегментда берилган ва шу сегментда узлуксиз бўлсин. У ҳолда бошланғич функция

га эга бўлади.
Равшанки, функция нинг ихтиёрий бошланғич функцияси бўлса, у ҳолда

бўлади.
Бу тенгликда, аввал деб
,
сўнгра деб

бўлишини топамиз. Демак,
(1)
(1) формула Ньютон-Лейбниц формуласи дейилади.
Одатда, айирма каби ёзилади. Демак,
.
Масалан,
.
3⁰. Ўзгарувчиларини алмаштириш формуласи. Фараз қилайлик, бўлсин. Равшанки, бу ҳолда

интеграл мавжуд бўлади.
Айни пайтда, бу функция да бошланғич функцияга эга бўлиб,

бўлади.
Айтайлик, аниқ интегралда ўзгарувчи ушбу

формула билан алмаштирилган бўлиб, бунда функция қуйидаги шартларни бажарсин:
1) бўлиб, функциянинг барча қийматлари га тегишли;
2) ;
3) функция да узлуксиз ҳосилага эга бўлсин.
У ҳолда
(2)
бўлади.
◄ Равшанки, мураккаб функция сегментда узлуксиз бўлиб,

бўлади.
Агар эканини эътиборга олсак, унда

бўлишини топамиз. Бу эса функция да функциянинг бошланғич функцияси эканини билдиради. Ньютон-Лейбниц формуласига кўра
(3 )
бўлади.
(2) ва (3) муносабатлардан
(4)
бўлиши келиб чиқади. ►
(4) формула аниқ интегралда ўзгарувчини алмаштириш формуласи дейилади.
2-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄ Берилган интегралда алмаштиришни бажарамиз. Унда

бўлади. ►