10. Интегралнинг чизиқлилик ҳамда аддитивлик хоссалари

Натижа. Агар бўлса, у ҳолда бўлади, бунда .
2⁰. Интегралнинг тенгсизликлар билан боғланган хоссалари.
1-хосса. Агар бўлиб, да бўлса, у ҳолда

бўлади.
◄ Интегралнинг таърифига кўра

да
бўлади. У ҳолда, да бўлишидан

бўлиб, ундан

бўлиши келиб чиқади. ►
1-натижа. Агар , бўлиб, да бўлса, у ҳолда

бўлади.
◄ Равшанки,

бўлиб,

бўлади. ►

2-натижа. Агар , бўлса, у ҳолда
(2)
бўлади.
◄ Ихтиёрий учун

бўлиб,

бўлади. Квадрат учҳаднинг дискриминанти мусбат бўлмаганлиги сабабли

яъни,

бўлади. ►
(2) тенгсизлик Коши-Буняковский тенгсизлиги дейилади.
2-хосса. Агар бўлса, бўлиб,

бўлади.
◄ бўлсин. Интегралланувчилик мезонига кўра, олинганда ҳам сегментнинг шундай бўлаклаши топиладики, унга нисбатан

бўлади, бунда функциянинг даги тебраниши.
Равшанки, учун

бўлиб, ундан

бўлиши келиб чиқади.
Демак,

бўлади, бунда функциянинг даги тебраниши. Шуларни эътиборга олиб,

бўлишини топамиз. Демак, .
ва функцияларнинг интеграл йиғиндилари учун
,
бўлиб, да лимитга ўтиш натижасида

бўлиши келиб чиқади.►
3⁰. Ўрта қиймат ҳақидаги теоремалар. Айтайлик, функция да берилган ва чегараланган бўлсин. У ҳолда мавжуд ва учун

тенгсизликлар ўринли бўлади.
1-теорема. Агар бўлса, у ҳолда шундай ўзгармас сон мавжудки,

бўлади.
◄ Равшанки,

.
Кейинги тенгсизликлардан

бўлиши келиб чиқади.
Агар

дейилса, ундан

бўлишини топамиз. ►
3-натижа. Агар бўлса, у ҳолда шундай топиладики,

бўлади.
◄ Бу тасдиқ юқоридаги теорема ва узлуксиз функциянинг хоссасидан келиб чиқади.►
2-теорема. Агар бўлиб, да функция ўз ишорасини ўзгартирмаса, у ҳолда шундай ўзгармас сон мавжудки,
(3)
бўлади.
◄ Айтайлик, да бўлсин. Унда равшанки,

бўлади.
Бу муносабатдан ҳамда аниқ интеграл хоссаларидан фойдаланиб топамиз:
.
а) бўлсин. У ҳолда

бўлиб, ихтиёрий да (3) ўринли бўлади.
б) бўлсин. У ҳолда

бўлиб,

дейилса, ундан

бўлиши келиб чиқади. ►
4-натижа. Агар бўлиб, ва функция да ўз ишорасини ўзгартирмаса, у ҳолда шундай топиладики,

бўлади.
Машқлар
1. Ушбу

тенгсизлик исботлансин.
2. Ушбу

тенглик исботлансин.
3. бўлиб, у даврли функция бўлсин. У ҳолда учун

бўлиши исботлансин.