10-ma’ruza. Chiziqli uzluksiz operatorlar

Chiziqli operatorlarga misollar
30.1-misol. - ixtiyoriy chiziqli normalangan fazo bo‘lsin.
,
akslantirish birlik operator deyiladi. Uni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring.
Yechish. Bu operatorning chiziqliligi va uzluksizligi quyidagi tengliklardan bevosita kelib chiqadi:
, .
Qo‘shimcha qilib aytishimiz mumkinki, uning aniqlanish sohasi, qiymatlar sohasi va yadrosi uchun quyidagilar o‘rinli:
.
30.2. va ixtiyoriy chiziqli normalangan fazolar bo‘lsin.

operator nol operator deyiladi. Uni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring.
Yechish. Nol operatorning chiziqliligi va uzluksizligi bevosita ta’rifdan kelib chiqadi. Uning aniqlanish sohasi, qiymatlar sohasi va yadrosi uchun quyidagilar o‘rinli:
.
30.3. Aniqlanish sohasi bo‘lgan va fazoni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi
,
operatorni qaraymiz. Bu operator differensial operator deyiladi. Uni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring.
Yechish. Uning chiziqli ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun ixtiyoriy elementlarning chiziqli kombinatsiyasi bo‘lgan elementga operatorning ta’sirini qaraymiz:
.
Biz bu yerda yig‘indining hosilasi hosilalar yig‘indisiga tengligidan, hamda o‘zgarmas sonni hosila belgisi ostidan chiqarish munkinligidan foydalandik. Demak, operator chiziqli ekan. Uni nol nuqtada uzluksizlikka tekshiramiz. Ma’lumki, , bu yerda - fazoning nol elementi, ya’ni . Endi nolga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni tanlaymiz. Umumiylikni buzmagan holda deymiz.
.
Ikkinchi tomondan,
.
Demak, operator nol nuqtada uzluksiz emas ekan. 30.2-teoremaga ko‘ra differensial operator aniqlanish sohasining barcha nuqtalarida uzilishga ega.
Uning qiymatlar sohasi va yadrosi uchun quyidagilar o‘rinli:
.
30.4. Endi fazoni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi operatorni quyidagicha aniqlaymiz:
(30.1)
Bu operator integral operator deyiladi. Bu yerda funksiya - kvadratda aniqlangan, uzluksiz. integral operator-ning o‘zagi (yadrosi) deyiladi. operatorni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring.