10-ma’ruza. Chiziqli uzluksiz operatorlar

Yechish. Ma’lumki, ixtiyoriy uchun funksiya va larning uzluksiz funksiyasidir. Matematik analiz kursidan ma’lumki,

integral parametr ning uzluksiz funksiyasi bo‘ladi. Bulardan operatorning aniqlanish sohasi uchun tenglik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Integral operatorning chiziqli ekanligi integrallash amalining chiziqlilik xossasidan kelib chiqadi, ya’ni ixtiyoriy va lar uchun


tengliklar o‘rinli. Endi integral operator ning uzluksiz ekanligini ko‘rsatamiz. ixtiyoriy tayinlangan element va unga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik bo‘lsin. U holda
(30.2)
Bu yerda
.
ning chekli ekanligi kesmada uzluksiz funksiyaning chegaralangan ekanligidan kelib chiqadi. Agar (30.2) tengsizlikda da limitga o‘tsak,

ekanligini olamiz. Agar tengsizlikni hisobga olsak,
.
Shunday qilib, integral operator ixtiyoriy nuqtada uzluksiz ekan.
integral operatorning qiymatlar sohasi va yadrosi integral operatorning o‘zagi - funksiyaning berilishiga bog‘liq. Masalan, bo‘lsa, operatorning qiymatlar sohasi o‘zgarmas funksiyalardan iborat, ya’ni , uning yadrosi o‘zgarmasga ortogonal funksiyalardan iborat, ya’ni

30.8-ta’rif. Bizga normalangan fazoning to‘plami berilgan bo‘lsin. Agar shunday son mavjud bo‘lib, barcha uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, to‘plam chegaralangan deyiladi.
30.9-ta’rif. fazoni fazoga akslantiruvchi chiziqli operator berilgan bo‘lsin. Agar ning aniqlanish sohasi bo‘lib, har qanday chegaralangan to‘plamni yana chegaralangan to‘plamga akslantirsa, ga chegaralangan operator deyiladi.
Chiziqli operatorning chegaralanganligini tekshirish uchun quyidagi ta’rif qulaydir.