11-mavzu 11-ma’ruza

2.3.5. Ikkinchi tartibli chiziqlarning
umumiy tenglamasi
Ikkita va o‘zgaruvchining ikkinchi darajali tenglamasi umumiy ko‘rinishda
(2.3.12)
kabi yoziladi.
Bu tenglama aylana, ellips, giperbola va parabolalardan birini aniqlashini ko‘rsatamiz. Buning uchun avval koordinata o‘qlarini burchakka burish orqali (2.3.12) tenglamada koordinatalar ko‘paytmalari qatnashgan hadni yo‘qotamiz, ya’ni bu tenglamani
(2.3.13)
ko‘rinishga keltiramiz.
Koordinata o‘qlarini burish formulalari

yordamida eski koordinatalarni yangi koordinatalar orqali ifodalaymiz:
.
burchakni shunday tanlaymizki, oldidagi koeffitsiyent nolga aylansin, ya’ni

tenglik bajarilsin. Bundan
(2.3.14)
yoki
(2.3.15)
Shunday qilib, koordinata o‘qlarini (2.3.15) shartni qanoatlantiruvchi
burchakka burish (2.3.12) tenglamani (2.3.13) tenglamaga keltiradi.
Agar bo‘lsa (2.3.14) ifoda ma’nosini yo‘qotadi. Bu holda (2.3.14) tenglamaga ko‘ra ya’ni bo‘lishi kerak. Demak, da koordinata o‘qlarini ga burish kerak bo‘ladi.
1-teorema. (2.3.13) tenglama hamma vaqt yoki aylanani ( da), yoki ellipsni ( da), yoki giperbolani ( da), yoki parabolani ( da) aniqlaydi. Bunda ellips (aylana) uchun – nuqta yoki mavhum ellips (aylana), giperbola uchun –kesishuvchi chiziqlar juftligi, parabola uchun – parallel chiziqlar juftligi kabi buzilishlar bo‘lishi mumkin.
Isboti. bo‘lsin deylik.
U holda (2.3.13) tenglamadan topamiz:
.
Bundan


yoki
(2.3.16)
Bunda:
- agar bo‘lsa, u holda (2.3.13) tenglama markazi
nuqtada joylashgan va radiusi ga
teng aylanani aniqlaydi;
- agar bo‘lsa, u holda (2.3.13) tenglama
ko‘rinishga keladi. Bu tenglikni yagona nuqta koordinatalari qanoatlantiradi. Bunda «aylana nuqtaga buzilgan» deyiladi;

• 
  agar bo’lsa, u holda (3.16) tenglama ( mos ravishda (3.13) tenglama) hech bir chiziqni aniqlamaydi. Bunda «aylana mavhum aylanaga buzilgan» deyiladi.
  

Teoremaning qolgan qismi shu kabi isbotlanadi.
Shunday qilib, (2.3.13) tenglama (mos ravishda (2.3.12) tenglama) ikkinchi
tartibli chiziqlardan birini aniqlaydi.
Misol
tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziq ko‘rinishini aniqlaymiz. Berilgan tenglama giperbolani ifodalaydi, chunki .
Tenglamada almashtirishlar bajaramiz:


Demak, berilgan tenglama nuqtada joylashgan va yarim o‘qlari ga teng bo‘lgan giperbolani aniqlaydi.