12-mavzu: Yo‘nalishini vaqt bo‘yicha o‘zgartiradigan parabolik tenglama uchun nokorrekt chegaraviy masala. Reja

12-MAVZU: Yo‘nalishini vaqt bo‘yicha o‘zgartiradigan parabolik tenglama uchun nokorrekt chegaraviy masala.
Reja:

1. 
   Masalaning turg‘unlik bahosi.
   
2. 
   Yagonalik va shartli turg‘unlik teoremalari.
   
3. 
   Masalani regulyarlashtirish va kvazi-almashtirish usullari bilan taqribiy yechish.
   

Yo‘nalishini vaqt bo‘yicha o‘zgartiradigan parabolik tipdagi tenglamalar sistemasi uchun nokorrekt boshlang‘ich-chegaraviy masala. sohada
(12.1)
tenglamalar sistemasi uchun boshlang‘ich-chegaraviy masalani qarab chiqamiz.
Masalaning qo‘yilishi. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi (12.1) tenglamalar sistemasining yechim izlanadi:
boshlang‘ich
, , , (12.2)
chegaraviy
, , (12.3)
va birlashtirish shartlari
, . (12.4)
Quyidagi spektral masalani qarab chiqamiz:
(12.5)
, - musbat va manfiy xususiy qiymatlarga muvofiq javob beruvchi (12.5) masalaning xususiy funksiyalari, bunda , sonlar kamaymaydigan ketma-ketlikni shakllantiradi. Shu bilan birga va lar transendent tenglamaning yechimlari hisoblanadi. Belgilab o‘tamizki, , .
dagi skalyar ko‘paytmani deb belgilaymiz. Xususiy funksiyalarni quyidagicha normallashtiramiz:
, ,
,
bu yerda - Kroneker belgisi. (12.5) masalaning xususiy funksiyalari da Rits bazisini shakllantiradi. Shunda quyidagini aniqlaymiz:
,
bunda berilgan norma fazoda dastlabki bilan ekvivalent.
(12.1)-(12.4) chegaraviy masalalarning umumlashgan yechimida quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi:

ixtiyoriy ikki , , , , , , , funksiyalar uchun ikki , funksiyalarni tushunamiz.