12-mavzu: Yo‘nalishini vaqt bo‘yicha o‘zgartiradigan parabolik tenglama uchun nokorrekt chegaraviy masala. Reja

Asosiy natijalar.
Lemma 1. tenglamani va , , shartlarni qanoatlantirsin, shunda uchun quyidagi baholash o‘rinli bo‘ladi:
.
Lemma 2. quyidagi tenglamani:
(12.6)
va , , shartlarni qanoatlantirsin, shunda uchun quyidagi baholash o‘rinli bo‘ladi:
,
bu yerda .
Isbot. (12.6) tenglamaning yechimini quyidagi yig‘indi ko‘rinishida tasvirlash mumkin:
,
bu yerda - quyidagi bir jinsli tenglamaning yechimi:
;
- quyidagi bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning ba’zi bir xususiy yechimi:
.
Shu bilan birga , funksiyalar quyidagi chegaraviy shartlarni:
, ,
hamda quyidagi birlashish shartlarini qanoatlantiradi:
, ,
, .
, larning yechimi mavjud bo‘lsin. Shunda va larni quyidagi ko‘rinishda tasavvur qilish mumkin:
,
.
Bu yerda va lar har bir larda quyidagi masalalarni mos ravishda qanoatlantiradi:




bu yerda .
Quyidagini bilish qiyin emas:
, ,
.
funksiya uchun lemma 1 ning natijasini hisobga olgan holda quyidagiga ega bo‘lamiz:
,
bu yerda . Shunda belgilashni kiritib, quyidagiga ega bo‘lamiz:
.
korrektlik to‘plamini quyidagicha kiritamiz:
. (12.7)
Teorema 1. (12.1)-(12.4) masalaning yechimi mavjud va bo‘lsin, shunda masalaning yechimi yagona bo‘ladi.
Isbot. , juft funksiyalar (12.1)-(12.4) masalaning yechimi bo‘lsin. , kabi belgilash kiritamiz. Shunda juft funksiyalar (12.1) tenglamalar sistemasini, , va (12.3), (12.4) shartlarni qanoatlantiradi. Lemma 1 ning natijalaridan ya’ni ekanligini ko‘rish oson, so‘ngra lemma 2 asosida ixtiyoriy yoki , uchun ya’ni (12.1)-(12.4) masalaning yechimi yagonaligiga ega bo‘lamiz.
Teorema 2. va , bo‘lsin. Shunda (12.1)-(12.4) masalaning yechimi uchun quyidagi baho o‘rinli bo‘ladi:
,
,
bu yerda .
Isbot. juft funksiyalar sohada quyidagi tenglamalar sistemasini:

va quyidagi shartlarni:
boshlang‘ich
, , ,
chegaraviy
, ,
va birlashish shartlarini qanoatlantirsin
, .
, ,
, ,
bo‘lganligi uchun lemma 1 ga asosan quyidagiga:
,
lemma 2 ga asosan esa quyidagiga ega bo‘lamiz:
.