13-mavzu: Vaqtli qatorlar va ularning tenglamalarini tuzish usullari

Vaqt qatorlari trendi tenglamalarini tuzish
Chiziqli trend. To‘g‘ri chiziq trend chizig‘ining eng sodda turi bo‘lib, u trendning chiziqli tenglamasi bilan ta’riflanadi.
To‘g‘ri chiziq tenglamasi (chiziqli trend) quyidagi ko‘rinishga ega:
,
bu yerda –i raqamli yillar uchun trendning tenglashtirilgan darajalari;
t_i – vaqt qatorining darajalarini o‘z ichiga olgan vaqt oraliqlari yoki davrlarining raqamlari (yil, oy va b.);
a₀, a₁ – trend parametrlari.


Ushbu chiziqli trend parametrlarining (a₀ va a₁) tavsifi quyidagicha:
a₀ - trendning son jihatdan sanoq boshi uchun qabul qilingan vaqt lahzasi yoki davri uchun o‘rtacha tenglashtirilgan darajaga teng bo‘lgan koeffitsiyenti;
a₁ - trendning vaqt birligi uchun qator darajalarining o‘rtacha o‘zgarishini tavsiflovchi koeffitsiyent.
Ushbu a₀ va a₁ parametrlarning qiymati eng kichik kvadratlar (EKK) usuli bo‘yicha aniqlanadi. Buning uchun normal tenglamalar tizimi tuziladi. Chiziqli trend uchun tenglamalar tizimi:

Ikkita noma’lumga ega bo‘lgan tenglamani yechish uchun vaqtni sanashning boshlanishi qatorning o‘rtasiga ko‘chiriladi. Vaqt davrlarini raqamlashda qatorning naqd o‘rtasidan t_i raqamlarning teng yarmi manfiy sonlar, qolgan yarmi esa musbat sonlar bo‘ladi, ya’ni t_i = 0. Ushbu holatda normal tenglamalar tizimi qisqaradi. Unda chiziqli trend uchun tenglamalarning soddalashtirilgan tizimi hosil bo‘ladi:

bu yerda
(A) va

Chiziqli trend tenglamalarning taxminan bir maromda o‘zgarishi tendensiyasini: darajalarning teng vaqt oraliqlaridagi mutlaq o‘sishi yoki mutlaq qisqarishiga o‘rtacha teng kattaliklarni aks ettirish uchun mos keladi.
Bir maromda o‘zgarishga yaqin bo‘lgan mutlaq o‘sish (qisqarish) sababi o‘zaro o‘rtacha holatga keladigan, qisman o‘zaro qo‘shib olinadigan omillarning turli yo‘nalishli va turli tezlikdagi kuchlarning ta’sir etishidan iborat. Ularning teng amal qiluvchi ta’siri esa bir maromda ta’sir etishga yaqin xususiyatni kasb etadi. Shunday qilib, bir maromdagi dinamika ko‘p sonli omillarning o‘rganilayotgan ko‘rsatkichning o‘zgarishiga ta’sirini qo‘shish natijasi hisoblanadi.
Chiziqli trendning grafik tasviri – ikkala o‘qda ham chiziqli o‘lchamga ega bo‘lgan to‘g‘ri burchakli koordinatlar tizimidagi to‘g‘ri chiziq (1-rasm).