15-bob paramyetrga bog’liq intyegrallar 74-ma’ruza Ikki o‘zgaruvchili funktsiyaning bir o‘zgaruvchisi bo‘yicha yaqinlashishi

1-teorema. Agar da funktsiya ga da tekis yaqin­lash­sa, u holda to‘plamdagi ga intiluvchi har bir ketma-ketlikda ( )

funktsional ketma-ketlik ham da ga tekis yaqin­la­shadi.
◄Aytaylik, funktsiya da funktsiyaga da tekis yaqin­lash­sin. Unda ta’rifga binoan , , tengsizlikni qanoat­lantiruvchi ixtiyoriy , : bo‘ladi.
Modomiki, ketma-ketlik ga intilar ekan, unda
, , :
tengsizlik bajariladi. Demak,
, , , , :
ya’ni,

bo‘ladi. Bu esa funktsional ketma-ketlikning da funktsiyaga tekis yaqinlashishini bildiradi.►
Endi funktsiyaning limit funktsiyaga ega bo‘lish va unga tekis yaqin­la­shishi haqidagi teoremani keltiramiz.
2-teorema. funktsiya da limit funktsiya ga ega bo‘lishi va unga tekis yaqinlashishi uchun olinganda ham ga bog‘liq bo‘lmagan shunday topilib, , tengsizliklarni qanoatlanti-ruvchi ihtiyoriy hamda da
(2)
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
◄ Zarurligi. Aytaylik, funktsiya da limit funktsiya ga da tekis yaqinlashsin. Unda ta’rifga binoan
, , , , : (3)
jumladan, , uchun ham
(4)
bo‘ladi.
(3) va (4) munosabatlardan

bo‘lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi. Aytaylik, (2) shart bajarilsin. Modomiki, har bir tayinlangan va , , , da

tengsizlik bajarilar ekan, unda Koshi teoremasiga ko‘ra da funktsiya limitga ega bo‘ladi. Uni bilan belgi­lay­lik:
.
Endi o‘zgaruvchining tengsizlikni qanoat-lan­ti­ra­digan qiy­mati­da tayinlab, (2) tengsizlikda da limit­ga o‘tib, topamiz:
.
Bu esa da funktsiya ga da tekis yaqin­lashishini bildiradi. ►
3-teorema. funktsiya uchun quyidagi shartlar baja­ril­sin:
1) har bir tayin da funktsiya da o‘zga­ruv­chining funk­tsiya­si sifatida uzluksiz;
2) da funktsiya da ga tekis yaqin­lashsin.
U holda funktsiya da uzluksiz bo‘ladi.
◄ to‘plamda ga intiluvchi ixtiyoriy ketma-ketlik olib segmentda aniqlangan ushbu

funktsional ketma-ketlikni hosil qilamiz. Teoremaning shartlariga ko‘ra:
1) funktsional ketma-ketlikning har bir hadi da uzluksiz bo‘ladi;
2) mazkur ma’ruzadagi 2-teoremaga binoan da funktsional ketma-ketlik funktsiyaga da tekis yaqin­la­shadi.
Unda funktsiya segmentda uzluksiz bo‘ladi (qaralsin, 65-ma’ruza). ►