15-bob paramyetrga bog’liq intyegrallar 74-ma’ruza Ikki o‘zgaruvchili funktsiyaning bir o‘zgaruvchisi bo‘yicha yaqinlashishi

3⁰. funktsiyaning uzluksizligi. funktsiyaning uzluk­siz­li­gini quyidagi teorema ifodalaydi.
2-teorema. Agar funktsiya

to‘plamda uzluksiz bo‘lsa, funktsiya da uzluksiz bo‘ladi.
◄ Ixtiyoriy va nuqtalarni olib, funk­tsiya­ning orttirmasini topamiz:
.
funktsiya to‘plamda tekis uzluksiz. Unda uchun shunday topiladiki, bo‘lganda, uchun

bo‘ladi. Demak, bo‘lganda

bo‘ladi. Keyingi munosabatdan

bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa funktsiyani ixtiyoriy nuq­ta­da, binobarin da uzluksiz bo‘lishini bildiradi.►
4⁰. funktsiyani differentsiallash. Aytaylik, funktsiya to‘p­lam­da berilgan bo‘lsin.
3-teorema. Faraz qilaylik, funktsiya quyidagi shartlarni bajarsin:
1) har bir tayin da funktsiya da o‘zga­ruvchi­ning funktsiyasi sifatida uzluksiz;
2) funktsiya to‘plamda xususiy hosilaga ega va funktsiya da uzluksiz.
U holda funktsiya da hosilaga ega va
(3)
bo‘ladi.
◄ , nuqtalarni olib, topamiz:
.
Lagranj teoremasiga ko‘ra

bo‘lib,
(4)
bo‘ladi.
funktsiya to‘plamda tekis uzluksiz bo‘lganligi sababli

tengsizlik bajariladi. (4) munosobatdan foydalanib

bo‘lishini topamiz. Demak,
.
Bu esa

ekanini bildiradi. ►
(3) munosabatni quyidagicha

ham yozish mumkin. Bu differentsiallash amalini integral belgi­si ostiga o‘tkazish qoidasini ifodalaydi.