16-Amaliy mashg’ulot: Parametrga bog‘liq xosmas integrallarni tekis yaqinlashishi va ularning funksional xossalari

munosabat o’rinli.
15.8-misol. Ushbu

integralni hisoblang.
Yechilishi. Integral ostidagi funksiyani quyidagi ko’rinishda ifodalaymiz:

Bu tenglikni e’tiborga olgan holda, berilgan integralni

ko’rinishga keltiramiz. Endi, integralni hisoblash uchun munosabatdan foydalanamiz:

Bu yerda integrallash tartibini almashtirish mumkin, deb faraz qilib, (2) formulani e’tiborga olgan holda,

munosabatga ega bo’lamiz. Endi integralda integrallash tartibini o’zgartirishning mumkin ekanligini asoslaymiz, ya’ni 15.8-teoremaning shartlarini tekshiramiz. funksiya to’plamda uzluksiz. deb olamiz. Unda

bo’ladi.
Keyingi ikki integral ga nisbatan tekis yaqinlashuvchi. Shuning uchun da integral ostida limitga o’tsak, ularning nolga intilishini ko’rish qiyin emas.
Ikkinchi integral ga nisbatan tekis yaqinlashuvchi, da integralning da nolga intilishini ko’rsatamiz:
Demak, ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib,

Mustaqil yechish uchun misollar

15.1. Agar funksiya da absolyut integrallanuvchi bo’lsa,

ekanligini isbotlang.
15.2. Ushbu

tenglikni isbotlang.
15.3. integralda da integral ostida limitga o’tish mumkinmi?
15.4. Agar funksiya da uzluksiz, chegaralangan va funksiya esa, oraliqda absolyut integrallanuvchi bo’lsa, u holda

ekanligini isbotlang.
15.5. Agar funksiya da integrallanuvchi bo’lsa,

ekanligini isbotlang.
15.6. funksiyaning to’plamda uzluksizligini isbotlang.