16-Amaliy mashg’ulot: Parametrga bog‘liq xosmas integrallarni tekis yaqinlashishi va ularning funksional xossalari

15.6-teorema. funksiya to’plamda uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilaga ega hamda o’zgaruvchining dan olingan har bir tayin qiymatida

integral yaqinlashuvchi bo’lsin.
Agar

integral da tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, funksiya ham oraliqda hosilaga ega bo’ladi va

munosabat o’rinlidir.
Parametrga bog’liq bo’lgan xosmas integrallarni xisoblashda quyidagi integrallardan foydalanamiz:
(1)
(2)
(1), (2) formulalar, integrallarni ikki marta bo’laklab integrallash natijasida hosil qilinadi.
15.7-misol. Ushbu

integralni parametr bo’yicha differensiallash teoremasidan foydalanib, hisoblang.
Yechilishi. funksiyaning nuqtadagi qiymatini ga teng deb qabul qilsak,
funksiyalar to’plamda uzluksiz bo’ladi.
Berilgan integralni yaqinlashishga tekshiramiz:

da
da esa,
bo’lganligi sababli, taqqoslash teoremasiga asosan, va integrallar yaqinlashuvchi bo’ladi.
Endi, integralni da tekis yaqinlashishga tekshiramiz:
uchun

integral yaqinlashuvchi bo’lganligidan, Veyershtrass teoremasiga ko’ra, integral to’plamda tekis yaqinlashuvchi.
Demak, 15.5-teoremaga asosan,

bo’ladi. (2) formulani e’tiborga olsak,
.
Bu yerdan

bo’lganligi uchun bo’lib, bo’ladi.
Parametrga bog’liq bo’lgan xosmas integrallarni parametr bo’yicha integrallash. funksiya
to’plamda berilgan bo’lsin.
15.7-teorema. Agar funksiya to’pldamda uzluksiz va

integral oraliqda tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, funksiya da integrallanuvchi va

munosabat o’rinli.
funksiya to’plamda aniqlangan bo’lsin.
15.8-teorema. funksiya to’plamda uzluksiz, hamda

integrallar, mos ravishda, oraliqda tekis yaqinlashuvchi bo’lsin.
Agar

integrallarning hyech bo’lmaganda bittasi yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda

integrallar ham yaqinlashuvchi va ular o’zaro teng bo’ladi.
funksiya to’plamda berilgan, ning dan olingan har bir tayin qiymatida, nuqta, uning maxsus nuqtasi bo’lsin.
15.9-teorema. funksiya to’plamda aniqlangan uzluksiz va

integral oraliqda tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda funksiya oraliqda integrallanuvchi va