16-Mavzu. Differensial tenglamaga keltiruvchi masalalar. Differensial tenglamalar nazaryasining asosiy tushunchalari. 1-tartibli differensial tenglama uchun

Bir jinsli differensial tenglamalar

Та’rif 1.(x,y) funktsiya va у ga nisbatan bir xil jinsli к‑o’lchovli funktsiya deyiladi. Аgar ixtiyoriy  dа(x, y)=^k(x,y) tenglik o’rinli bo’lsa.

1‑misol.(x,y)=x+y funktsiya bir jinsli, bir o’lchovlidir, chunki,

(x, y)=x+y=(x+y)=(x,y)

2‑misol. F(x,y)= bir jinsli nol o’lchovlidir, chunki

Та’rif 2. (1) tenglama bir jinsli differentsial tenglama deyiladi. Agar (x,y) funktsiya х vау larga nisbatan bir jinsli nol o’lchovli funktsiya bo’lsa, bu tenglama quyidagicha yechiladi. Shartga ko’ra

(x,y)=(x,y).

Faraz qilaylik =1/х bo’lsin. U holda

Quyidagi belgilashni kirirtamiz. Bularni (2) gа quyib

gа egabo’lamiz.Аgar(1;u) funktsiyaningshaklianiqbo’lsa, uholdachaptomondagiintegralnihisoblabuningo’rniga у/х qo’yib, berilgantenglamaningumumiyintegralinihosilqilamiz.

Misol

(1) bir jinsli differentsial tenglama umumiy yechimini topaylik.

Yechish.

Yechimni (2) ko’rinishda izlaymiz, (3), (2) va (3) larni (1) tenglamaga qo’yib (4) ni hosil qilamiz. (4) tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan differentsial tenglamadir, o’zgaruvchilarni ajratibni hosilqilamiz. Bu tenglama ikkala tomonini integrallab

, ,ni topamiz. Berilgan tenglama umumiy integrali ko’rinishda boladi.