17-mavzu: Superkengaytma va eksponenta funktorlari va ularning qism funktorlari

Teorema 5.6.6. λ X\A⁺ =O(X/A)
Isbot. ᶓ ∉ A⁺ sharti 2.1.8 teoremaga asosan shunday ᶓ oilada F to’plam mavjudki ixtiyoriy A∉ ᶓ to’plam uchun F∩A=Ǿ munosabat bajariladi. Bu yerda ᶓ= O(X/A) munosabat o’rinlidir. Teorema isbotlandi.
Tarif: O(U) ko’rinishdagi to’plamlar oilasi λX( O(X)= λX) fazoni qoplaydi. Shuning uchun λX da topologiyaning ochiq old bazasini hosil qiladi. Bu oldbaza orqali aniqlangan topologiya Volmen topologiyasi deyiladi. Volmen topologiyasi bilan birgalikda λX to’plami X fazoning superkengaytmasi deyiladi.
2.1.4 va 2.1.11 teoremalardan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija. X fazoning λX superkengaytmasi superkompaktdir.
Teorema 5.6.7. Har qanday X fazoning λX superkengaytmasi λX superkompaktdir.
Isbot. A⁺ turdagi to’plamlardan tashkil topgan yopiq λX oldbaza 2.6 teoremaning shartiga javob berishini isbotlasak yetarli.
𝜂={ A⁺_α: αϵÛ} sistemasi ulangan bo’lsin. U holda ᶓ ={ A_α: αϵÛ} sistemasi ham zanjirlangan ᶓ o’zida saqlaydigan har qanday ᶓ^/ maksimal zanjirlangan sistema ∩ 𝜂 ga tegishliligini tekshirish qiyin emas. Teorema isbot bo’ldi.
Teorema 5.6.8. Har qanday nuqta uchun orqali nuqtani o’zida saqlaydigan funksiyaning barcha yopiq qismto’plamlar oilasini belgilaymiz.
sistemasi - yopiq ultrafiltr, tabiiyki maksimal zanjirlangan sistemasi kam. Shunday qilib, ixtiyoriy ochiq qism to’plam uchun (4) tenglikka asosan uzluksiz bo’lgan akslantirish aniqlanadi.
(4) tenglikdan kelib chiqadiki . Demak tasviri ochiq. Bundan tashqari - fazo uchun akslantirish o’zaro bir qiymatli.
Teorema 5.6.9. Faraz qilaylik, - fazo uchun -tasvir funksiyaning o’z supergengaytmasiga joylashishini amalga oshiradi. Shunday qilib, - fazo uchun ga joylashadigan superkompakt fazodir. Bu bilan funksiyaning kengaytirilishini ham aniqlaydi. Keyinchalik fazoni uning superkengaytmasining qismfazosiga mos qo’yiladi.
Teorema 5.6.10. Faraz qilaylik, fazoning superkengaytmasi xausdorfdir.
Isbot. - ikki xil MZS bo’lsin. Unda ulardan bo’sh, masalan , boshqa sistemaga ega bo’lmagan to’plamni mujassamlashtiradi.
Faraziga asosan, ni kesib o’tmaydigan to’plami mavjud. - va larning kesishmaydigan tevaragi bo’lsin. U holda o’sha 2.1.8 teoremaga ko’ra, . va nuqtalarining kesishmaydigan atrofi
2.2.13 va 2.3.1 teoremalardan kelib chiqadi.