17-mavzu: Superkengaytma va eksponenta funktorlari va ularning qism funktorlari

Lemma. fazo kompakt bo’ladi.
Isbot. ketmaketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlikni har doim mavjud ekanligini ko’rsatamiz. Zarur bo’lgan holda qism ketma-ketlikka o’tganda x ketma-ketligi kompaktda sistemaga yaqinlashadi deb hisoblasa bo’ladi. Avval sistema zanjirlanganligini ko’rsataylik, ba’zi toplamlar uchun tenglik o’rinli. U holda ba’zi bir uchun (7) shunday n soni topiladiki bo’lsin. U holda , ammo bu ning zanjirlanganligiga yoki (7) shartga zid. sistemani maksimal zanjirlangan sistema ekanligini ko’rsatamiz.
to’plam sistemaning har bir elementi bilan kesishsin. U holda uchun bo’lgan holda sistemaning har bir elementi bilan kesishadi. Demak, 2.1.8-teoremaga ko’ra barcha sistemalariga tegishli, aniq bittasidan boshlanib. Ammo u holda , bundan 2.24 ga ko’ra . Kelib chiqadigani - maksimal zanjirlangan sistema (MUT) 2.1.8- teoremaga ko’ra lemma isbotlandi.
Endi metrikasi to’plamida supergengaytma topologiyasini indutsirlaydi. Yuqorida isbotlangan lemma asosida akslantirish uzluksiz ekanligini tekshirish qiyin emas, U X ga ochiq to’plam bo’lsin. Bu bo’lgan shunday mavjudligini anglatadi. Ammo F ba’zi bir ning atrofi bilan U ochiq to’plamida joylashgan. U holda tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Teorema 5.6.20. Har qanday X bikompaktining supergengaytmasi ikki karra eksponentaning qismfazosidir.
Isbot. Ixtiyoriy X bikompakti- kompaktlardan va ustiga akslantirishlardan tashkil topgan spektr uchun chegara bo’ladi. Agar epimorfizm bo’lsa, u holda bo’ladi. S spektriga va funktorlarini tasirlantiramiz va spektrining chegarasi va bikompaktlariga gomeomorfdir. spektrning barcha fazolari o’zining metrizatsiyalanuvchanligiga ko’ra spektrining mos keladigan fazolarining qismfazolari, _{spektri proyeksiyalari esa –shu qism fazolardagi} spektri proyeksiyasining chegaralanishlari bo’ladi. Shuning uchun chegara ga joylanadi va bu joylashishni ko’rinib turganidek ayniyat joylashishi bilan mos keladi. Teorema isbotlandi.