17-mavzu: Superkengaytma va eksponenta funktorlari va ularning qism funktorlari

Isbot. spektr uchun akslantirish o’zaro bir qiymatli. va - ga har xil maksimal zanjirlangan sistemalar bo’lsin. 2.1.8 teoremaga ko’ra, bo’lgan shunday toplam mavjudki unga asosan bo’lgan shunday uchun bundan kelib chiqadiki . Unda (4) sharti ni beradi. Endi f tasvirning epimorfligini tekshiramiz.
spektrning chizig’i bo’lsin. U holda 2.24 teoremaga asosan spektriga joylangan bikompaktlar spektri bo’ladi. Exp funktorining uzluksizligiga tayangan holda sistemaki ga joylangan.
- ga Maksimal zanjirlangan sistema (MZS)ligini ko’rsatib o’tamiz. ko’ra (6). U holda agar bo’lsa, xususan har qanday uchun. Bundan ga ega bo’lamiz. Demak sistema ulangan. Uning maksimalligini isbotlash uchun 2.1.8 teoremadan foydalanamiz. sistemaning har qanday elementi bilan kesishsin. U holda (6) ga ko’ra oila sistemaning har bir elementi bilan kesishadi, demak 2.8 teoremaga ko’ra bo’ladi. U holda (6) ga ko’ra va demak sistema maksimal. Endi tenglik o’rinli ekanligini ko’rsatamiz.
oilasi (6) ga ko’ra MZS da joylashgan. oila MZS bo’lsa u holda akslantirishning ta’rifiga ko’ra tenglik bajariladi. Bu yerda tenglik o’rinli ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
Teorema 5.6.18. funktori monomorfizmlarni monomorfizmga, epimorfozmlarni epimorfizmga o’tkazadi.
Birinchi fikr “ funktori monomorfizmlarni monomorfizmga o’tkazadi” 2.8 dan kelib chiqasa, ikkinchi fikr epimorfizmni va U da zanjirlangan sistema uchun oilasi zanjirlanganligidan kelib chiqadi.
Teorema 5.6.19. Agar X kompakt bo’lsa uning superkengaytmasi ham kompakt bo’ladi. 2.3.6 teoremaga ko’ra kompaktida metrika bo’lsin. orqali to’plam atrofidagi yopiq -shartni belgilaylik. deb hisoblagan holda da metrikani aniqlaylik. Uni metrikaligini tekshiramiz.
Metrikaning 1- aksiomasi bajarilishi ravshan. Endi simmetriya aksiomasini bajarilishini tekshiramiz.
Agar va bo’lsa, 2.1.8 teoremaga ko’ra bo’ladigan to’plam mavjud. U holda F₁ to’plam uchun munosabat bajariladi, ya’ni o’rinlidir.
Uchburchak aksiomasini qanoatlantirishni ko’rsatamiz.
, bo’lsin. U holda toplamii uchun va larga egamiz. Ammo ning aniqlanishiga ─ to’plamda ikki karra eksponentadan Xausdorf metrikasi bilan ustma-ust tushadi. Shunday qilib ga izometrik joylashgan.