1366. Agar 13+23+ ... + 3 soni 1 bilan tugasa, 1+2+...+n raqami bilan qaysi raqam tugaydi?
Yechim. Ma'lumki
1+2+ ... + n =n(n+1)/2 va
1 raqami bilan tugaydi, n(n+1) 1 raqami bilan tugaydi yoki 9 raqami bilan. Agar 2 raqami 9 raqami bilan tugagan bo'lsa, u holda n (n + 1) soni 8 raqami bilan tugaydi. Ammo ketma-ket ikkita natural sonning ko'paytmasi faqat 0, 2 va 6 raqamlari bilan tugaydi.
Shunday qilib, n (n + 1)/2 soni 1 soni bilan tugaydi.
1367. Isbotlang, (Х1 · " . · Хп) < х1 ' · • • . - хпп •
Yechim. Bu tengsizlikning logarifmini olamiz 10-bazada biz olamiz
= (x₁ + ... + xx) (18 x₁ + ... + 18 xx) < xi Xn) < xilgxi + ... + Xn 1g Xn, t. e. n(x,1g x1 + ... + Xn 18 Xn) - (x,+ - + ... + Xn) (1g xi + ... + 1g Xn) > 0, +
Yoki
(x1 - x2) (1g x, - lg x2) + (x,-xa) (lg x1-1g x;) + ... + + (xi - Xn) (1g x) - 1g Xn) + (X ; - ha) (18 Xo - 1g x2) + + ... + (X2 - Xn) (Ig x1 - 1g Xn) + ... + + + (x - Xn) (1g xn--18xn) > 0 .
Olingan tengsizlik haqiqatdir, chunki Xk-1 - xk va 1g xk-1-1g xk kabi farqlar bir xil belgilarga ega. Bundan kelib chiqadiki, bu tengsizlik ham haqiqatdir.
1368. ABC uchburchakning burchaklari uchun tengsizlikni isbotlang
Vs1n A + Vs1n.В > Vsin C .
Yechim. Chunki cos A < 1, cos B <1, sin A> >0, sin B >0, keyin
sin C = sin(A + B) = sin A cos B + = + sin B cos A < sin A + sin B.
Ammo agar a va b raqamlari ijobiy bo'lsa, unda
Vsini+Vsin B> Vsin+anB> Vsinc. Q.E.D.
Do'stlaringiz bilan baham: |
