2-ma’ruza. Model adekvatligining bahosi. Qoldiqlarning avtokorrelyasiyasi. Darbin-Uotson kriteriysi. Regression model qoldiqlarining avtokorrelyatsiyasini bartaraf etish. Reja

2-ma’ruza.
Model adekvatligining bahosi. Qoldiqlarning avtokorrelyasiyasi.
Darbin-Uotson kriteriysi. Regression model qoldiqlarining avtokorrelyatsiyasini bartaraf etish.
Reja:
1. Determinatsiya koeffitsienti. Umumiy va qoldiq dispersiyasi.
2. Model adekvatligining bahosi.
3. Qoldiqlarning avtokorrelyasiyasi.
4. Darbin-Uotson statistikasi.

Oddiy regressiyada chiziqli funksiyaning aniqligini baholash uchun oddiy determinatsiya koeffisiyenti deb ataluvchi korrelyatsiya koeffisiyentining kvadratidan iborat bo’lgan kattalik ishlatiladi. Determinatsiya koeffisiyenti Y ning umumiy dispersiyasi ichida regressiya tenglamasi yordamida tushuntiriladigan dispersiyasining ulushini bildiradi va R² kabi belgilanadi:

Regressiya tahlilining asosiy maqsadi Y bog’liq o’zgaruvchi hamda uni tushuntirish uchun tanlab olingan erkin o’zgaruvchi X orasidagi funksional bog’liqlikning ko’rinishini aniqlashdan iboratdir. Regressiya tenglamasini topgandan so’ng, Y_i ning har bir kuzatishdagi qiymatini ikkita _{ } va e_i -tashkil etuvchilarga ajratishimiz mumkin:

_{ }  bu Y ning regressiya tenglamasi to’g’ri topilgan hamda Y ga ta’sir etuvchi tasodifiy omillar yo’q degan taxmin ostida i-tajribadagi hisoblangan qiymati. Boshqacha qilib aytganda, _{ }  X ning tanlanma qiymati bo’yicha Y ning regressiya tenglamasi yordamida hisoblangan yoki bashorat qilingan qiymati. Xo’sh, bu bashorat qanchalik aniq? Ana shu X ni prediktor sifatida tanlab olish qanchalik maqsadga muvofiq bo’ladi?
Bu kabi savollarga javob olish uchun oddiy determinatsiya koeffisiyentidan foydalaniladi. Uning foydali tomoni shundaki, bu kattalik bog’liq o’zgaruvchi Y o’zgaruvchanligining yoki umumiy dispersiyasining erkin o’zgaruvchi X regressiya tenglamasi yordamida tushuntirishi mumkin bo’lgan foizini bildiradi. Demak,
Oddiy determinatsiya koeffisiyenti R² miqdor Y o’zgaruvchi umumiy dispersiyasining berilgan regressiya tenglamasi yordamida tushuntiriladigan dispersiyasining ulushini bildiradi.

R²0  “Berilgan prediktor tanlanma regressiya tenglamasi yordamida Y dispersiyasini umuman tushuntira olmaydi.”

R²1  “Berilgan prediktor tanlanma regressiya tenglamasi yordamida Y o’zgaruvchining umumiy dispersiyasini to’liq tushuntira oladi.”

Oddiy regressiyada determinatsiya koeffisiyenti korrelyatsiya koeffisiyentining kvadratiga teng bo’ladi. Masalan, agar r0,997 bo’lsa, u holda R²0,994 yoki 99,4% ga teng.

kattalik o’rta qiymatdan umumiy kvadrat og’ish deb ataladi va inglizcha ”total sum of squares” jumlasiga mos ravishda SST kabi belgilanadi.
Demak,

bunda Y_i – Y o’zgaruvchining i–qiymati;
- Y o’zgaruvchining tanlanma o’rta qiymati.
Agar bu yig’indini (n-1) ga bo’lib yuborsak, hosil bo’lgan miqdor Y o’zgaruvchining dispersiyasiga teng bo’ladi.

Bu dispersiyadan kvadrat ildiz Y ning standart og’ishiga teng bo’ladi:
.
Biz qoldiqni

orqali belgilagan edik. U holda

miqdor qoldiq kvadratlari yig’indisi SSE (sum of squares error) ga teng. SSE Y tanlanma qiymatlarining _{ } atrofida o’zgarishi (dispersiyasi) ni ko’rsatib, u bog’liq o’zgaruvchining regressiya tenglamasi bilan tushuntirib bo’lmaydigan qismini bildiradi. Agar bu yig’indini mos erkinliklar darajasi soni (n-2) ga bo’lsak, u holda Y ning tushuntirilmagan dispersiyasi kelib chiqadi. Bu tushuntirilmagan dispersiyadan kvadrat ildiz bahoning standart xatoligiga teng:
,
bunda Y_i – Y ning i-tanlanma qiymati;
_{ } − Y_i ning X_i ga mos bahosi, ya’ni _{ }.
SSR  SST–SSE.
SSR miqdor regressiya kvadratlarining yig’indisi (sum of squares regression) ni bildiradi. Endi R² ning tenglamasini quyidagicha yozish mumkin:

(1)
.
Minus ishorasidan keyingi nisbat Y ning regressiya tenglamasi yordamida tushuntirilmaydigan dispersiyasining ulushidan iborat bo’lib, u modelga kiritilmay qolgan omillar ta’sirida vujudga keladi.
U holda

kattalik Y dispersiyasining regressiya tenglamasi va berilgan X orqali tushuntiriladigan qismini bildiradi.
O
(1)
lingan regressiya tenglamasining statistik ahamiyatliligi dispersiyalar tahlilidan so’ng Fisherning -mezoni asosida amalga oshiriladi. Ekonometriyada dispersiyalar tahlilidan regressiya modelining sifatini o’rganish uchun foydalaniladi. Dispersiyalar tahlilining asosiy g’oyasi shundan iboratki, Y ning o’rta qiymati _{ } dan kvadratik og’ishining umumiy yig’indisi ikkita – “tushuntiriladigan” hamda “tushuntirilmaydigan” – qismlarga ajraladi:

_{ } − o’rta qiymatdan og’ishlar kvadratlarining umumiy yig’indisi yoki og’ishlar kvadratlarining umumiy yig’indisi;
_{ } – regressiyaning o’rta qiymatdan og’ishlari kvadratlarining yig’indisi yoki regressiya bilan tushuntiriladigan kvadratik og’ishlarning yig’indisi;
_{ } – qoldiq kvadratlarining yig’indisi, yoki modelga kiritilmagan omillarni xarakterlovchi yig’indi, yoki regressiya bilan tushuntirilmaydigan og’ishlar kvadratlarining yig’indisi.
Biz har bir yig’indining ikki yoki uch xil nomini keltirishimizga sabab turli adabiyotlarda ular ana shu variantlarning biri ishlatiladi yoki bu miqdorlar ana shu ma’noni beradigan iboralar bilan ta’riflanadi. Ularning inglizcha abbreviaturasidan foydalanib, alohida belgilashlar kiritgan edik:
_
(2)
,
_{ },
_{ }.
Bu belgilashlar asosida (1) ni quyidagicha yozish mumkin:
SST=SSR+SSE
Dispersiya tahlilining ko’rinishi quyidagi jadvaldagidek bo’ladi (n kuzatishlar soni, k tenglamadagi baholanadigan parametrlar soni):

Dispersiyaning turi	Kvadratlar yig’indisi	Erkinlik darajalari soni	Bir erkinlik darajasiga to’g’ri keladigan dispersiya
Umumiy		n-1
Omillar		k-1
Qoldiq		n-k

_
(3)


Bir erkinlik darajasiga mos kelgan dispersiyani aniqlash ularni solishtirish imkonini beradi. Bir erkinlik darajasiga to’g’ri keladigan omil va qoldiq dispersiyasining nisbatlari Fisherning F – mezonining qiymatiga teng:
_
(4)
.
Fsinovni o’tkazishdan maqsad tanlanma regressiya tenglamasining umuman statistik ahamiyatliligini tekshirishdan iborat. Bu erda “tushuntiruvchi o’zgaruvchilar to’g’ri tanlanganmi?”, “masala to’g’ri hal etilganmi?” kabi savollarga javob olinadi. Buning uchun F–statistikaning (4) formula bo’yicha hisoblangan tanlanma qiymati −ahamiyatlilik darajasi, k₁k-1 − tenglamadagi ozod hadlar soni, k₂=n-k− qoldiq dispersiyasi erkinlik darajalari bilan olingan F(;k₁;k₂) kritik qiymati bilan solishtiriladi.