3. операторный метод расчета переходных процессов

3.3. Включение rL-цепи на постоянное
напряжение

Дано: нагрузки r, L, напряжение U₀, схема (рис.3.1) ключ замыкается.
Определить операторный ток I(p) и мгновенный ток i(t).
Решение начнем с начальных условий. Ток индуктивности до замыкания ключа равен: i(0_)=0


С оставляем операторную схему замещения электрической цепи (рис.3.2). Ключ замкнут, источник работает на r, L-цепь. Дифференциальное уравнение:
заменяем операторным: . Решаем это уравнение и находим операторный ток: . В знаменателе операторного тока выражение в скобках называют операторным сопротивлением:
О сталось вернуться из области изображений в область оригинала. Возвращение во временную область осуществляется по теореме разложения или с помощью интеграла Бромвича, если задача не электрическая. Дорешаем эту задачу после рассмотрения теоремы разложения.


3.4. Теорема разложения

Воспользуемся операторным током и запишем его решение в виде дроби:

Если в операторной области решение можно представить в виде отношения двух рациональных дробей, причём (n и m – степени) и если ввести краткое обозначение этих дробей N(P) и M(P), то это отношение дробей можно представить в виде:

,
где: р₁,р₂,р₃… р_m – корни уравнения М(Р)=0, а А₁, А₂…А_к,… А_м – постоянные интегрирования.
Постоянную интегрирования А₁ можно определить из условия устремления р, к р₁. Тогда в правой части вместо суммы останется А₁, которую можно определить пределом:
,
где: . Тогда по аналогии для А_к: .
С учётом полученного выражения для А_к, операторный ток примет вид: . Учитывая, что изображению соответствует в области оригинала , формула теоремы разложения для оригинала тока примет вид:
Дорешаем задачу (рис.3.1). Числитель и знаменатель операторного тока равны:
N(p)=U0, M(p)=p(r + Lp) . Определим корни уравнения: M(p) = 0 . Первый корень равен: p1=0 , а второй - p2 = -r/L. Найдем производную по р от знаменателя:
. Решение для тока примет вид: