3. операторный метод расчета переходных процессов

3.5.Фиктивные операторные источники начальных условий

Пусть начальные условия для тока индуктивности i(0_) и напряжения на емкости u_c(0_) заданы. В области оригинала уравнение процесса в схеме (рис.3.3) примет вид: .
Подвергнем одновременно его левую и правую части преобразованию Лапласа: . Здесь фиктивные операторные источники начальных условий. Их нужно перенести в левую часть уравнения: . Операторная схема замещения примет вид (рис.3.4).


Правило: Фиктивный операторный источник начальных условий включается последовательно с L-элементом и совпадает с направлением тока в нем. Фиктивный операторный источник С-элемента также включается последовательно с ним и имеет направление противоположное току.


3.6. Закон Ома в оператор­ной форме
П усть задана часть слож­ной разветвленной электрической цепи (рис.3.5). Между узлами а и b этой цепи включена ветвь, содержащая элементы R, L, С и источник ЭДС е (t). Ток ветви обозначим через i .
Замыкание ключа К в схеме приводит к переходному процессу.
До коммутации ток был равен i(0-) и напряжение на конденсаторе u_c (0- ).
Выразим потенциал точки (а) через потенциал точки (b) для после коммутационного режима:
_a=_b+u_c+u_L+u_r-e(t);
u_ab=_a-_b =u_c+u_L+u_r-e(t);
Вместо u_L запишем L , вместо u_c запишем u_c(0_-)+ .
Тогда: u_ab=ir+ L +u_c(0_-)+ .
К этому уравнению применим преобразование Лапласа. Преобра­зование Лапласа является линейным, поэтому изображение суммы равно сумме изображений.
Каждое слагаемое уравнения заменим операторным изобра­жением: вместо ir запишем rI(р); вместо u_ab запишем U_ab(p);
L ; .
Получим: U_ab(p)=I(p)(R+pL+ )-Li(0)+ -Е(р).
Смысл проведенного преобразования состоит в том, что вместо диф­ференциального уравнения получили алгебраическое уравнение, связывающее изображение тока I (р) с изображением ЭДС Е (р) и изображением напряжения U_ab(p). Отсюда сле­дует:
, где Z(p)=R+pL+1/pC представляет собой операторное сопротивление участка цепи между точками а и b. Структура его аналогична структуре комплекса сопротивления того же участка цепи переменному току, если j заме­нить на р.
Комплексное число р = а + jb запишем в виде p = j(b - ja)=j, где =b-jа - комплексная частота, Z (p)=Z (j)- сопротивление, оказываемое рассматриваемой цепью воздействию , подобно тому, как Z (j) есть сопротивление, оказываемое воздействию .
Слагаемое Li(0) представляет собой фиктивный операторный источник начальных условий, обуслов­ленный запасом энергии в магнитном поле индуктивности L вследствие протекания через нее тока i(0) непосредственно до коммутации.
Слагаемое представляет собой фиктивный операторный источник начальных условий, обуслов­ленный запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие наличия напряжения на нем u_c(0) непосредственно до коммутации.
Опера­торная схема замещения участка цепи (рис. 3.5) приведена на рис.3.6.

Рис. 3.6

В частном случае, когда на участке ab отсутствует ЭДС e (t) и к моменту коммутации i(0)=0 и Uс(0)=0 операторный ток имеет более простой вид: I(p)=