3. операторный метод расчета переходных процессов

3.7. Первый закон Кирхгофа в операторной форме

По пер­вому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю. Так, для узла а схемы (рис. 3.5): i₁+ i+ i₂=0.

Применим преобразование Лапласа и восполь­зуемся тем, что изображение суммы равно сумме изображений. Имеем: I₁(p)+ I(p)+ I₂(p)=0.
В общем случае:
Это уравнение выражает собой первый закон Кирхгофа в операторной форме.


3.8. Второй закон Кирхгофа в опе­раторной форме
Для любого замкнутого контура электрической цепи можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений. Пред­варительно необходимо выбрать положи­тельные направления для токов в ветвях и направление обхода контура.
З апишем уравнение по второму зако­ну Кирхгофа для контура (рис. 3.7). Кон­тур обходим по часовой стрелке.
Учтем, что индуктивности L₁ и L₂ имеют магнитную связь. При выб­ранных положительных направлениях для токов i1 и i2 между L₁ и L₂ имеет место согласное включение.
Падение напряжения на L₁ равно на L₂ равно
При составлении уравнения учтем, что начальное напря­жение на конденсаторе равно Uc(0). Пусть оно действует согласно с током i₃. Начальное значение тока i₁=i₁(0_-) и тока i₂=i₂(0_-). Имеем:
Каждое из слагаемых заменим операторным изображением:

После подстановок, объединим слагаемые с I₁(p), I₂(p), I₃(p). Перенесем в правую часть уравнения Uc(0_-)/p, Li(0_-) и другие внутренние э. д.с. Получим:
I1(p)Z1(p)+I2(p)Z2(p)+I3(p)Z3(p)=E1(p)-E3(p)+E_вн(р),
где Z1(p)=p(L₁-M); Z2(p)=p(M-L₂)-R₂; Z3(p)= ; E_вн(p)=(L₁-M)i₁(0)+(M-L₂)i₂(0)-
В общем виде уравнение второго закона Кирхгофа можно переписать так:
.
Это уравнение представляет собой математическую запись вто­рого закона Кирхгофа в операторной форме. В состав E_k (р) в общем случае входят и фиктивные источники начальных условий.