4. Исследование модели в соответствии с поставленной целью

Моделированияе Моделирование – это изучение реальной системы (оригинала), путем замещения его новым объектом его моделью, имеющего с ней определенное объектное соответствие и позволяющее прогнозировать ее функциональные особенности, т.е. при моделировании экспериментируют не самим объектом, а объектом, который называют заменителем.
Процесс моделирования включает несколько этапов:
1. Постановка задачи и определение свойств реального объекта, подлежащего исследованию.
2. Констатация затруднительности или невозможности исследования реального объекта.
3. Выбор модели, хорошо функционирующие основные свойства объекта с одной стороны и легко поддающиеся исследованию с другой. Модель должна отражать основные свойства объекта и не должна быть грамосткой.
4. Исследование модели в соответствии с поставленной целью.
5. Проверка адекватности объекта и модели. Если нет соответствия, то необходимо повторить первые четыре пункта.
Существует классический и системный подход к решению задач моделирования. Суть метода заключается в следующем: Реальный объект, подлежащий к исследованию, разбивается на отдельные компоненты Д и выбираются определенные цели Ц формирования отдельных компонентов модели К. Затем на основе исходных данных создаются компоненты модели, совокупн6ость которых, с учетом их соотношений, объединяются в модель. Данный метод является индуктивным, т.е. построение модели происходит от частного к общему.
Классический метод используется для моделирования относительно простых систем, например, САУ.Системный подход Суть метода заключается в том, чтобы на основе исходных данных Д, которые известны из анализа внешней среды, с учетом ограничений, которые накладываются на систему и в соответствии с поставленной целью Ц, формируются требования Т и модели объекта. На базе этих требований строится подсистема П и элементы подсистем Э и с помощью критерия выбора КВ осуществляется выбор наилучшей модели, т.е. построение модели происходит от общего к частному.
Системный подход используется для моделирования сложных систем.
Классификация видов моделирования 1. По способу построения модели.а) Теоретические (аналитические) – строятся по данным о внутренней структуре на основе соотношений, вытекающих из физических данных. б) Формальные – по зависимости между выходом и входом в систему. Строится на основе принципа черного ящика.в) Комбинированные.2. По изменению переменных во времени.а) Статические.б) Динамические.Статическая модель описывает состояние объекта и не содержит производных х и у (входных и выходных) сигналов по времени. Математическая модель б) описывает статику объема с распределенными по длине координатами.Динамическая модель описывает переходные процессы во времени и содержит производные у_i dt.Динамическая модель, в зависимости от способа получения, представляется в виде дифференциального уравнения переходной импульсной или частотной характеристики в виде передаточной функции.Динамика объектов с сосредоточенными параметрами описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, а объекты с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частотных производных.3. По зависимости переменных модулей от пространственных координат.а) С распределенными параметрами.б) С сосредоточенными параметрами.4. По принципу построения.а) Стохастические.б) Детерминированные.Если х и у (вход и выход) постоянные или известные величины (детерминированные), то модель называется стохастическая.Если х и у случайные (вероятные) величины, то модель называется стохастической.
Стохастические модели содержат вероятные элементы и представляют собой систему зависимости, полученную в результате статического исследования действующего объекта.
Детерминированная – это система функциональных зависимостей, построенная с использованием теоретического подхода.
Детерминированные модели имеют ряд преимуществ. Их можно разрабатывать даже при отсутствии действующего объекта, как это часто бывает при проектировании. Они качественно, более правильно характеризуют процессы, протекающие в объекте даже при наличии недостаточно точных в количественном отношении параметров модели.
Если информация об объекте моделирования не обладает достаточно высокой полнотой или из-за его значительной сложности, невозможно описать в виде модели все входные воздействия, а влияние ненаблюдаемых переменных на выходные координаты существенны, то применяют статическую модель.
5. По зависимости параметров модели от переменных.
а) Зависимые (нелинейные).
б) Независимые (линейные).
Если параметры (коэффициенты) модели зависят от переменных или последнее мультипликативные, то модель является нелинейной.
Модель считают линейной при непрерывном отклике на входное воздействие и при аддетивности от параметров модели.
Адетивность величин - это свойство, заключающее в том, что значение величины целого объекта равно сумме значений соответствующих частот целого при любом разбиении объекта на части.
Мультипликативность величин – это свойство, заключающееся в том, что значение величины целого объекта равно произведению значения величины соответствующих частей целого при любом разбиении объекта на части.
6. По приспособляемости модели.
а) Адаптивные.
б) Неадаптивные.
Адаптивная – это модель, структура и параметры которой изменяются так, чтобы некоторая мера погрешности между выходными переменными модели и объекта была минимальна.
Они делятся на поисковые и беспоисковые.
В поисковых моделях автоматический оптимизатор варьирует параметры модели так, чтобы получилось минимальная мера ошибки между выходными моделями объекта.

Лекция № 2

Математические схемы моделирования


Основные подходы к построению математической модели системы

Исходная информация при построении математической модели, процесса функционирования систем служат данные о назначении и условии работы исследуемой системы. Эта информация определяет основную цель моделирования систем S и позволяет сформулировать требования и разрабатываемой математической модели М.

Математическая схема – это звено, при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования процесса, с учетом воздействия внешней среды, т.е. имеет место цепочка: описательная модель → математическая схема → математическая модель.
Каждая система S характеризуется набором свойств, отражающих поведение системы и условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой ε.
Полнота модели регулируется в основном выбором границы системой S и внешней средой Е.

Задачу упрощения модели помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные.

Введем следующее обозначение:
1) Совокупность входных воздействий на систему
.

2) Совокупность воздействий внешней среды

.

3) Совокупность внутренних или собственных параметров системы

.

4) Совокупность выходных характеристик системы

.

В общем случае все переменные являются элементами подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические состояния.

То есть, имеем следующую систему:



Экзогенные (независимые)


Эндогенные (зависимые переменные)

Процесс функционирования систем S в общем случае описывается во времени операторам F_S , который преобразует экзогенную переменную и эндогенную.

Для динамических систем:


(1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы во времени y_i(t), , называется выходной траекторией, т.е. формула (1) называется законом о функционировании системы и позволяет получить выходную траекторию системы.

Закон функционирования F_S может, задан в виде функций логических условий в алгоритмических или табличных формах, в виде словесного описания.
Алгоритм функционирования A_S – это метод получения выходных характеристик, с учетом входных воздействий , воздействий внешней среды и собственных параметров системы .
Один и тот же закон функционирования F_S может быть реализован различными способами, т.е. с помощью различных алгоритмов A_S.
Для описания статических моделей:


(2)

Соотношение (1) и (2) может быть задано различными способами, например, в ряде случаев могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состоянием системы.

Состояние системы характеризуется векторами:


,
,

где

,
,
,
,

в момент

,
,
,

и т.д., при
Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательность смен состояний , то они могут быть интерпретированы как коэффициенты точки к-мерной базового пространства, причем каждая реализация соответствует некой фазовой траектории.
Совокупность всех возможных значений состояний , называется пространством состояний, причем .
Состояние системы S в момент времени полностью определяется начальными условиями, выходными воздействиями , внутренними параметрами и воздействиями внешней среды , которые имели место за промежуток времени от до и описывается, с помощью следующих уравнений.


,

где

,
,
.


(3)


. (4)

Первое уравнение (3) по начальному состоянию и независимым переменным определяют вектор функции , а уравнение (4) по полученному значению состоянию определяет зависимые переменные на выходе . Таким образом, цепочка уравнений объекта вход → состояние → выход, позволяет определить характеристику системы, описываемую уравнением (5).

(5)

В общем случае время в модели системы S может рассматриваться на интервале моделирования от 0 до Т, как непрерывное, так и дискретное, т.е. квантованное на отрезке временных единиц каждой, тогда Т выражается , где - число интервалов дискретизации.

Непрерывно детерминированные модели (D-схемы)

Используя этот подход в качестве математической модели, применяют диффиринциальные уравнения.

Если в диффиринциальных уравнениях не известны функции многих переменных, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. В противном случае, при рассмотрении функции только одной независимой переменной, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Математическое состояние для детерминированных систем будет выглядеть:


,


,

где

,



,


- вектор функция, которая определена на некотором (n+1)-мерном множестве и является непрерывной, т.к. математические схемы такого вида отражают динамику изучаемой системы, то они называются D-схемами.

Лекция № 3

Наиболее важно для системотехники приложение D-схем, в качестве математического аппарата в ТАУ.

Для иллюстрации рассмотрим две элементарные системы различной физической природы.
а) Механическая – колебание маятника.

Процесс малых колебаний маятника описывается обыкновенным дифференциальным уравнением вида:

,

где - масса маятника;

- длина подвеса маятника;
- ускорение свободного падения;
- угол отклонения маятника в момент времени t.

Из этого уравнения могут быть получены различные характеристики, например, период колебания маятника:

.

б) электрический контур.

Аналогичны процессы в электрическом контуре, описывается дифференциальное уравнение вида:


,


.

где и - индуктивность, и емкость конденсаторов,

- заряд конденсатора в момент времени t.

Из этого уравнения также могут быть найдены различные характеристики, например, .

Очевидно, что, введя обозначения: , , , , , получим дифференциальное уравнение второго порядка:


,

где - параметры системы;

- состояние системы в момент времени t.

Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели, причем поведение одной системы может быть проанализировано с помощью другой и наоборот.

Если изучаемая система маятника или контур взаимодействует с внешней средой, то появляется входное воздействие x(t) (внешняя сила для маятника и источник энергии для контура). Тогда непрерывно детерминированная модель будет иметь вид:


.


Получение передаточной функции из дифференциального уравнения

Передаточная функция равна отношению изображений по Лапласу переменных выходов и входа при нулевых начальных условиях.

Пусть система описывается дифференциальным уравнением второго порядка:


.

Начальные условия: и .

Преобразуем уравнение по Лапласу, для чего воспользуемся свойством линейности преобразования, а также теоремой о дифференцирования оригинала.

Теорема о дифференцируемости, оператор Лапласа:


,


.

Также уравнение можно записать в другом виде:

.

Так как мы находим передаточную функцию, то все наши начальные условия равны 0, тогда мы получаем уравнение:

.

Тогда передаточная функция окончательно записывается в виде:

.


Механические системы с линейным перемещением

Параметрами механических систем является масса демпфирования (трения) и упругость (эластичность).

Движение может происходить только в одном направлении.






Сначала рассмотрим массу: