4-ma’ruza Sоnlar kеtma-kеtligi va uning limiti. Yaqinlashuvchi kеtma-kеtliklarning хоssalari. Reja
Download 485.51 Kb.
|
4-maruza
|
3-misol. Ushbu
ketma-ketlikning limiti 0 ga teng bo‘lishi isbotlansin: . Ravshanki, bo‘lib, tengsizlik barcha bo‘lganda o‘rinli. Bu holda deyilsa, ( sonidan katta bo‘lmagan uning butun qismi), unda uchun bo‘ladi. Ta’rifga binoan . 4-misol. Aytaylik, bo‘lsin. U holda bo‘lishi isbotlansin. deylik. Unda va Bernulli tengsizligiga ko‘ra bo‘lib, da bo‘ladi. Demak, tengsizlik barcha bo‘lganda o‘rinli. Agar deyilsa, ravshanki, uchun bo‘ladi. Demak, 5-misol. Ushbu ketma-ketlikning limiti 1 ga teng bo‘lishi isbotlansin. Ixtiyoriy son olamiz. So‘ng ushbu
tengsizlikni qaraymiz. Ravshanki, ko‘rinishga keladi. Keyingi tengsizlikdan bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, limit ta’rifidagi sifatida olinsa ( ga ko‘ra topilib), uchun bo‘ladi. Bu esa bo‘lishini bildiradi. 6-misol. Faraz qilaylik, va bo‘lsin. U holda bo‘lishi isbotlansin. Shunday natural sonni olamizki bo‘lsin. Endi bo‘lishini e’tiborga olib, ya’ni deymiz. Unda Bernulli tengsizligiga ko‘ra bo‘lib, da bo‘ladi. Bu holda deyilsa, uchun bo‘ladi. Demak, . 7-misol. Ushbu tenglik isbotlansin. Ravshanki, va uchun bo‘ladi. Agar bo‘lishini e’tiborga olsak, 6-misolga ko‘ra ekanini topamiz. Unda ta’rifga ko‘ra 1 soni uchun bo‘ladi. Shunday qilib, uchun bo‘ladi. Demak, . 8-misol. Ushbu ketma-ketlikning limiti mavjud emasligi isbotlansin. Teskarisini faraz qilaylik. Bu ketma-ketlik limitga ega bo‘lsin. Unda ta’rifga binoan,
bo‘ladi. Ravshanki, juft bo‘lganda toq bo‘lganda , ya’ni bo‘ladi. Bu tengsizliklardan foydalanib topamiz: . Bu tengsizlik bo‘lgandagina o‘rinli. Bunday vaziyat sonining ixtiyoriy bo‘lishiga zid. Demak, ketma-ketlik limitga ega emas. Teorema. [1, p.128, prop. 6.1.7] Agar ketma-ketlik limitga ega bo‘lsa, u yagona bo‘ladi. Teskarisini faraz qilaylik. ketma-ketlik ikkita va limitlarga ega bo‘lsin: Limitning ta’rifiga ko‘ra bo‘ladi. Agar va sonlarining kattasini desak, unda da bo‘lib, bo‘ladi. Ravshanki, . Demak, da bo‘lib, undan bo‘lishi kelib chiqadi. Download 485.51 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|