4 мавзу. Аниқ интегралнинг тадбиқлари текис фигураларнинг юзaларини ҳисоблаш Айланма жисмларнинг ҳажмини ҳисоблаш

2. Айланма жисмларнинг ҳажмини ҳисоблаш
Айтайлик, кесмада номанфий функция берилган бўлсин. чизиқлар билан чегараланган эгри чизиқли трапециянинг абсцисса ўқи атрофида айланишидан ҳосил бўлган жисмнинг ҳажмини топиш талаб этилади (расм 5).

0

Расм 5
кесмани , нуқталар билан та тенг бўлакларга бўламиз. Ҳар бир , , кесмаларда қандайдир нуқталарни оламиз. Интеграл йиғиндини тузамиз

, (4)
бунда . (4) йиғиндининг ҳар бир ҳади айланма цилиндрнинг ҳажмига тенг, умумий йиғинди эса уларнинг ҳар бирига мос зинасимон жисмлар ҳажмига тенг. Узлуксиз функция учун (4) интеграл йиғиндининг лимити мавжуд ва қаралаётган айланма жисмнинг ҳажми га тенг:
. (5)
Мисол. параболанинг абсцисса ўқи атрофида айланишидан ҳосил бўлган жисмнинг дан қисмидаги ҳажмини топинг.
Ечиш. (5) формула бўйича ҳисоблаймиз:
.
3. Аниқ интегралнинг иқтисодга тадбиқи
Иқтисодда аниқ интегралдан фойдаланишга доир мисоллар кўрамиз.
Вақтнинг дан гача оралиғида ишлаб чиқарилган маҳсулот ҳажми меҳнат унумдорлиги бўлганда қуйидаги формуладан топилади
. (6)
Кобба – Дуглас-ишлаб чиқариш функцияси қуйидаги кўринишга эга
,
умумий маҳсулот миқдори, - меҳнат сарфи, - ишлаб чиқариш фондининг ҳажми.
Агар Кобба – Дуглас функциясида меҳнат сарфи вақтга чизиқли боғлиқ деб ҳисоблаш мумкин бўлса, капитал харажатлар эса ўзгармас деб ҳисобланса, у ҳолда у кўринишни олади. У ҳолда йилда ишлаб чиқарилган маҳсулот миқдори қуйидагини ташкил этади:
(7)
Мисол. Агар Кобба-Дуглас функцияси кўринишга эга бўлса, 4 йилда ишлаб чиқарилган маҳсулот ҳажмини топинг.
Ечиш. (7) формулага асосан ишлаб чиқарилган маҳсулот ҳажми ушбуга тенг

Бўлаклаб интеграллашдан фойдаланамиз. Айтайлик, . У ҳолда
, .
.
дан гача вақт оралиғида омборга тушадиган товар миқдори (6), формула билан ҳисобланади, агар - вақт бирлиги ичида омборга тушадиган товар миқдори бўлиб, вақт бирлиги ичида электр энергиянинг сарфи маълум бўлса, у ҳолда электр энергиянинг дан гача вақт оралиғидаги сарфи (6) формуладан ҳисобланади.
Дисконтирлаш. вақтдан сўнг йиллик процент ставкада, охирги жамғармага кўра бошланғич суммани топиш дисконтирлаш дейилади.
Бундай турдаги масалаларни пул жамғаришнинг иқтисодий самарадорлигини аниқлашда учратиш мумкин.
Айтайлик t йилда олинган охирги сумма , ва - дисконтирланадиган (бошланғич) сумма бўлсин, буни молиявий таҳлилда замонавий сумма ҳам деб юритишади. Агар процентлар оддий бўлса, у ҳолда , бунда - солиштирма процент ставка. У ҳолда .
Мураккаб процент бўлган ҳолда ва шунинг учун .
Ҳар йили тушиб турадиган даромад вақт бўйича ўзгариб турса ва функция билан ифодаланса ва солиштирма процент нормаси га тенг бўлса, процент узлуксиз бўлса, бундай ҳолда вақт ичида дисконтирланган даромад ушбу формуладан топилади:
(8)
Мисол. Агар бошланғич маблағ 10 млн. сўмни ташкил этиб ҳар йили маблағни 1 млн. сўмдан ошириб борилса, уч йил ичида дисконтирланган даромадни 8 % йиллик ставкада топинг.
Ечиш. Маблағни жамғариш функцияси , кўринишда бўлади. У ҳолда (8) формуладан дисконтирланган маблағ суммаси
,
ташкил этади. Уни интеграллаб К=30,5 млн. сўмни топамиз.
Бу шуни кўрсатадики, агар худди шундай узлуксиз процент ставкада тушум амалга ошса, ҳар йили 10 дан 13 млн. сўм тушум амалга оширилганда уч йилдан кейинги жамғарилган сумма миқдори бир маротабали бошланғич 30,5 млн. сўмни қўйишга тенг кучли бўлар экан.