4-mavzu. Bazis. Fazoda dekart koordinatalar sistemasi. Vektorning koordinatalari Reja

Ta’rif. Elementlari shu 8 ta aksioma shartlarini qanoatlantiruvchi V to‘plam vektor (yoki chiziqli) fazo deyiladi.
vektorlar hamda ₁, ₂,.._p ‘aqiqiy sonlar berilgan bo‘lsin. Ulardan hosil qilingan =₁ + ₂ +..+_p ifoda vektorlarning ₁, ₂,..,_p koeffitsientli chiziqli kombinatsiyasi deyiladi. Agar biror vektor , ,.., vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi shaklida ifodalangan bo‘lsa, vektor shu vektoralr bo‘yicha yoyilgan deyiladi, ya’ni quyidagi tenglik o‘rinli bo‘ladi: =₁ + ₂ +..+_p (1)
Agar kamida bittasi noldan farqli ₁,₂,..,_p sonlar tanlab olinganda
₁ + ₂ +..+_p =0 (2)
tenglik bajarilsa, u holda , .., lar chiziqli bog‘liq deyiladi. Agar (2) munosabat faqat ₁=₂=..=_p=0 bo‘lgandagina o‘rinli bo‘lsa, u holda , ,.., vektor chiziqli bo‘lmaganchiziqli bog‘lanmagan yoki chiziqli erkli chiziqli erikli deb ataladi.
Chiziqli bog‘liqli vektorlar uchun quyidagi toeremalar o‘rinli bo‘ladi.
TEOREMA. Agar , ,.., vektorlar sistemasining bir vektori nol bo‘lsa, u holda bu vektoralr sistemasi chiziqli bog‘liq bo‘ladi.
ISBOT. = bo‘lsin, u holda _k0, ₁=₂=..= =_k–1=_k+1=_p=0 sonlar uchun (2) munosabat o‘rinli bo‘ladi. Demak, , , vektorlar chiziqli bog‘liq bo‘ladi.
TEOREMA. Ikkita vektor chiziqli bog‘liq bo‘lishi uchun ularning kollinear bo‘lishi zarur va etarli.
TEOREMA. Uch vektor chiziqli boliq bo‘lishi uchun ularning komplanar bo‘lini zarur va etarli.
Ta’rif. Vektor fazoning maolum tartibda olingan vektorlar sistemasi chiziqli erikli bo‘lib, shu fazoning har bir vektori lar orqali chiziqli ifodalansa, bu vektorlar sistemasi vektor fazoning bazisi bazisi deyiladi va u B={ } orqali belgilanadi.
Ta’rif. Agar bazisning har bir vektori birlik vektor bo‘lib, ularning har ikkitasi o‘zaro perpendikulyar bo‘lsa, bunday bazis ortonormallangan bazis deyiladi. Bazisning vektorlari soni vektor fazoning o‘lchovi o‘lchami deyiladi.
B={ }, V₃ vektor fazoning biror tayin bazisi bo‘lsin. Ixtiyoriy  V₃ vektorni olamiz. U holda shunday x,y,zR sonlar mavjudki (1) bo‘ladi.
Agar vektor (1) ko‘rinishda ifodalansa, vektor B bazisning vektorlari bo‘yicha yoyilgan deyiladi.
TEOREMA. V₃ vektor fazoda har qanday vektor tanlangan B={ } bazis vektorlari bo‘yicha birgina yoyilmaga ega.