4-Мавзу. Тасодифий вариациялаш қонуниятлари. Эҳтимоллик назарияси. Режа

Эҳтимолликларни купайтириш теоремаси. Бир-бирига боглик булмаган 
ходисаларнинг биргаликда содир эхтимоллиги улар эхтимолликларининг 
купайтмасига тенг. Иккита ходиса учун 
(2.6) 
Бу теоремани исботлаймиз. А ва Б ходисалар бир-бирига боглик булмагани 
учун А ходисанинг содир булиши учун кулайлик яратувчи 𝑚
1
, холнинг хар бири 
учун Б ходисанинг содир булиши учун кулайлик яратувчи 𝑚
2
хол мос келади. 
Шундай килиб, А ва Б ходисаларнинг биргаликда содир булиши учун кулайлик 
яратувчи холларнинг умумий сони𝑚
1
, 𝑚
2
булади. Худди шунингдек тенг 
имконли ходисаларнинг умумий сони 
га тенг булиб, бунда 𝑛
1
ва 𝑛
2
мос 
равишда Ава Б учун тенг имконли ходисалар сони. Натижада: 
2.7) 
Мисоллар:
1) Биринчи кутида 5 та кора ва 10 та ок шар бор булиб, иккинчисида эса 3 
та кора ва 17 та ок шар бор. Хар бир кутидан биттадан шар олинганда 1) иккала 
шар хам кора; 2) иккала шар хам ок; 3) биринчи кутидан кора, иккинчисидан ок; 
4) биринчи кутидан ок, иккинчисидан кора шарлар чикиши эхтимоллигини 
топинг. 
Биринчи кутидан кора шар чикиши (А ходиса) эхтимоллиги 
иккинчи кутидан кора шар чикиши (В ходиса) эхтимоллиги 
, биринчи 
кутидан ок шар чикиши (А ходиса) эхтимоллиги 
ва иккинчпи 
кутидан ок шар чикиши (Б ходиса) эхтимоллиги 
Бир-бирига боглик булмаган икки ходисанинг биргаликда содир булиши 
эхтимоллигини (2.6) формула асосида топамиз: 

---

1)
𝑃(𝐴 ва𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) = (
1
3
∙
3
20
) =
3
60
- иккала шар кора булиши 
эхтимоллиги; 
2)
𝑃(𝐴′ ва𝐵′) = 𝑃(𝐴′) ∙ 𝑃(𝐵′) = (
2
3
∙
17
20
) =
17
30
- иккала шар ок булиши 
эхтимоллиги; 
3)
𝑃(𝐴 ва𝐵′) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵′) = (
1
3
∙
17
20
) =
17
60
биринчи кутидан кора шар, 
иккинчисидан ок шар олиниши эхтимоллиги; 
4) 
𝑃(𝐴′ ва𝐵) = 𝑃(𝐴′) ∙ 𝑃(𝐵) = (
2
3
∙
3
20
) =
1
10
- биринчи кутидан ок шар, 
иккинчисидан кора шар олиниш эхтимоллиги. Хамма туртта эхтимолий булган 
холлар АваБ , 𝐴
′
ва 𝐵′ , 𝐴
′
ва 𝐵,А ва 𝐵′ Б тулик ходисалар системасини ташкил 
киладилар, шунинг учун
𝑃(𝐴ва𝐵) + 𝑃(𝐴
′
ва𝐵
′
) + 𝑃(𝐴ва𝐵
′
) + 𝑃(𝐴
′
ва𝐵) =
3
60
+
17
30
+
17
60
+
1
10
= 1
 
2. Уч болали оилада болаларнинг учаласи хам угил булиши эхтимоллигини 
топинг. Угил бола тугилишини эхтимоллиги 0,515 га тенг ва тугиладиган 
боланинг жинси олдинги боланинг жинсига боглик эмас деб хисобланг. 
Эхтимолликларни купайтириш теоремасига асосан: 
3. Жонлантирувчи нурланишларнинг биологик системаларга таъсирини 
тушунтиришда нишон назариясидан фойдаланилади. Масалан, жонлантирувчи 
заррача тушаётган генни нишон деб караш мумкин. Тукима Н та нишонга эга ва 
унга Л та заррача таъсир килади. Агар маълум заррачанинг маълум нишонга 
тегишли эхтимоллиги П(А)га тенг булса, битта хам нишон зарарланмаслиги 
эхтимоллигини топинг. Заррачаларнинг нишонларга тегиши бир-бирига боглик 
булмаган ходиса леб фараз килинади. 
Аник бир нишонга берилган заррачанинг таъсир килмаслик эхтимоллиги 1-
П(А) га тенг. Нишонга бошка заррачалар тегиши мумкин.
Берилган нишонга бирорта хам заррача тегмаслиги эхтимоли 
купайтувчининг купайтмасига, яъни 
[𝟏 − 𝑷(𝑨)]
𝑳
га тенг. Хамма 
нишонларни хисобга олиш учун охирги ифодани уз-узига Н марта купайтириш 
керак. У холда 
[𝟏 − 𝑷(𝑨)]
𝑳𝑵
булади. Агар бир-бирига боглик икки ходисанинг 

---

биргаликда содир булиши ходисанинг эхтимоллиги аникланаётган булса, 
эхтимолликларни купайтириш хакидаги теорема бирмунча мураккаблашади. 
Агар А ходиса содир булгандагина Б ходиса бажариладиган холда бу икки 
ходисанинг биргаликда содир булиши эхтимоллиги 𝑷(𝑨ва𝑩) = 𝑷(𝑨) ∙ 𝑷(𝑩/𝑨) 
булади, бунда шартли П(А/Б)эхтимоллик, яъни Б ходисанинг Б ходиса содир 
булгандаги эхтимоллиги. 
4. Кутида 5 та шар булиб, 3 таси ок ва 2 таси кора. Кетма-кет олинган 
шарларнинг кора ва ок булиш эхтимоллигини топинг. 
Биринчи олинган шарнинг кора булиши (А ходиса) эхтимоллиги
. Кора шар олингандан сунг кутида 4 та шар: 3 та ок ва 1 та 
кора шар колади. Бундай холда ок шар чикиш (А ходиса содир булгандан кейин 
Б ходиса содир булиши) эхтимоллиги П(Б/А)=3/4га тенг. (2.8) муносабатдан 
фойдаланиб, П(АваБ)=
𝟐
𝟔
∙
𝟑
𝟒
=
𝟑
𝟏𝟎