4-mavzu. Vektorlar sistemasi va uning rangi

Masala: Quyida berilgan vektorlar sistemasining bazislaridan birini quring va rangini aniqlang: a₁(1; -1; 2; 3), a₂(-2; -3; 0; 1), a₃(-2; -9; 4; 6), a₄(-1; 2; -2; -1).
a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+a₄x₄=θ vektor tenglama umumiy yechimini Gauss-Jordan usulida quramiz

x₁, x₂ va x₄ noma’lumlar umumiy yechimning bazis noma’lumlari. Demak, mos ravishda, a₁, a₂ va a₄ vektorlar tizimi berilgan sistemaning bazislaridan birini tashkil etadi. Tizim 3 ta vektordan tarkib topgani uchun, berilgan vektorlar sistemasining rangi 3 ga teng.
Agar a₁, a₂, …, a_m vektorlar sistemasining rangi r ga teng bo’lsa, u holda sistemaning r ta vektoridan tuzilgan har qanday chiziqli erkli qism osti sistemasi uning bazisi bo’ladi.
Agar berilgan ikki n-o’lchovli a₁ va a₂ vektorlarning skalyar ko’paytmasi nolga teng bo’lsa, a₁ va a₂ vektorlar o’zaro ortogonal vektorlar deyiladi.
«Ortogonal» iborasi real fazo vektorlari uchun «perpendikulyar» iborasi bilan almashtirilishi mumkin. Masalan, a₁(-1; 2; 0; 3) va a₂(4; 2; -5; 0) vektorlar o’zaro ortogonal vektorlardir, chunki (a₁, a₂) = -1*4+2*2+0*(-5)+3*0 = 0.
n-o’lchovli vektorlardan tarkib topgan vektorlar sistemasi berilgan bo’lib, sistema vektorlarining har qanday ikki jufti o’zaro ortogonal bo’lsa, u holda sistemaga ortogonal vektorlar sistemasi deyiladi.
Masalan, a₁(3; 2; 1), a₂(2; -3; 0), a₃(-3; -2; 13) vektorlar sistemasi ortogonaldir, chunki (a₁, a₂)=0, (a₁, a₃)=0 va (a₂, a₃)=0.
Har qanday nolmas vektorlardan iborat ortogonal vektorlar sistemasi chiziqli erkli sistemadir.
n-o’lchovli k ta a₁, a₂, …, a_k vektorlardan iborat chiziqli erkli sistema berilgan bo’lsin. a₁, a₂, …, a_k vektorlar sistemasi ustida ortogonal vektorlar
sistemasini qurish mumkin, ya’ni chiziqli erkli a₁, a₂, …, a_k sistemani, mos ravishda b₁, b₂, …, b_k ortogonal sistema bilan almashtirish mumkin. Almashtirish quyidagi Shmidt formulalari yordamida amalga oshiriladi:
t-1