47. Zonalar nazariyasi. Supero'tkazuvchilar va dielektriklar, yarim o'tkazgichlar, elektr va optik xususiyatlar r n o'tish

Atom sathidan zonalarning shakllanishi. Kuchli bog'langan elektronlarning yaqinlashishi

Keling, alohida atomlarni birlashtirib, qattiq jismni shakllantirish operatsiyasini aqliy ravishda bajaraylik. Har bir atom juda ko'p energiya darajalariga ega. Biz bir darajani tanlaymiz va unga mos keladigan to'lqin funksiyasi Shredinger tenglamasini (1.57) qondirishga ruxsat beramiz.
bu yerda atomdagi elektronning umumiy energiyasi operatori.
Atomlardan hosil bo'lgan kristalldagi elektronning to'lqin funktsiyasi davriy potentsial tenglamani qanoatlantiradi.
(1,58)
Agar atomdagi elektronning to'lqin funktsiyasi yadro yaqinida Bor orbitasi radiusi tartibida joylashgan bo'lsa, Bloch funktsiyasi butun kristall bo'ylab "yog'lanadi". Shunga ko'ra, biz (1.58) yechimni turli panjara joylarida "markazlangan" atom to'lqin funksiyalarining superpozitsiyasi ko'rinishida qidiramiz.
(1,59)
panjara vektori qayerda .
Funktsiya (1.59) Bloch shartini (1.39) qondirishi kerak, agar bajarilsa qanoatlantiriladi.
(1,60)
Biz (1,58) ni chap tomonga ko'paytiramiz va funktsiya normallashtirilgan deb faraz qilib, kristalning butun hajmiga integrallashamiz ( )
(1,61)
Biz bu iborani kengaytmani (1.59) almashtiramiz.

(1.57) dan foydalanib, biz bor
(1,62)
Barcha panjara joylarining ekvivalentligi tufayli (1.62) integrallar faqat ularning nisbiy pozitsiyalariga bog'liq. Shuning uchun siz m dan ortiq yig'indidagi shartlardan birini tanlashingiz mumkin (masalan, c ) va yig'indini m ga ko'paytirish orqali N hadlar soniga ko'paytirish orqali almashtirishingiz mumkin .
(1,63)
(1.60) dan foydalanib, biz qayta yozamiz
(1,64)
To'lqin funktsiyasi n- tugun yaqinida lokalize qilinadi , shuning uchun mahsulot
tanlangan nol tuguniga eng yaqin qo'shnilar uchun va ular uchun nolga teng bo'lmagan (ya'ni uchun , bu erda asosiy tarjimalar vektori)
Keling, belgi bilan tanishtiramiz
(1,65)
(1,66)
(1.67) shaklida yozilishi mumkin.
Oddiy kubik panjara uchun
(1,68)
Shunday qilib, kristalldagi elektronning energiyasi erkin atomdagi elektronning energiyasiga nisbatan bir qiymatga kamayadi va davriy ravishda to'lqin vektorining davr bilan proektsiyalariga bog'liq . Energiyaning o'zgarishini k _x , k _y , k _z funksiyasi sifatida faqat birinchi Brilyuen zonasi doirasida ko'rib chiqish mantiqan to'g'ri keladi, chunki katta to'lqin vektorlari mintaqasiga keyingi kengayish E (to'lqin vektorlari bo'lgan holatlar) davriy takrorlanishiga olib keladi. va kristallda fizik jihatdan ekvivalentdir). To'lqin vektorining funktsiyasi sifatida energiya minimal E _min = E _a - - 6 Ddan bir qator qiymatlarni oladi | w | maksimalgacha E _max = E _a - D+ 6 | W |, energiya bandini tashkil etuvchi - kristalldagi elektron energiyasining ruxsat etilgan qiymatlari to'plami (spektri). Zona kengligi 12 | W |, bu erda W ning qiymati qo'shni saytlarning to'lqin funktsiyalarining bir-biriga mos kelishi bilan belgilanadi (bir-biriga yopishishning kattaligi va shunga mos ravishda ruxsat etilgan chiziqlar kengligi tashqi qobiqlardagi elektronlar uchun katta va saytlar yaqinlashganda ortadi. bir-biriga, bir-birini, o'zaro).
Kuchli bog'lanish yaqinlashuvidagi har bir atom darajasi o'z bandini hosil qiladi. Ruxsat etilgan energiya qiymatlari hududlari o'rtasida statsionar holatdagi elektron ideal kristalda bo'lolmaydigan energiya hududlari bo'lishi mumkin. Bunday hududlar taqiqlangan zonalar deb ataladi. Ba'zan zona diagrammalaridan foydalaniladi, ular faqat zonalarning chekkalarini belgilaydi.

1.4-rasm. Ikki zona uchun energiyaning to'lqin soniga bog'liqligi