5-Ma’ruza Mavzu: Differensial va integral hisobning tatbiqlarini o’rgatishda kasbga yo’naltirish. Kombinatorika elementlarini o’rgatishda kasbga yo’naltirish. Differensial hisobning asosiy xossalari

bo’ladi.
Bu formulaga Nyuton-Leybnis formulasi deb ataladi.
Misol.

Teorema: (O’rta qiymat haqidagi teorema). Agar funksiya segmentda uzluksiz bo’lsa, u holda segmentda shunday nuqta topiladiki,

tenglik o’rinli bo’ladi.
Isbot:Nyuton-Leybnis formulasiga ko’ra deb yozishimiz mumkin. Lagranj teoremasiga ko’ra bu yerda teorema isbot bo’ldi.

3. Yoy uzunligini hisoblash.

Ma’lumki, egri chiziq yoyining uzunligi shu egri chiziqqa chizilgan siniq chiziq perimetrining limiti sifatida ta’riflanadi. Siniq chiziq perimetri yig’indiga (integral yig’indiga) keladi va uning limiti aniq integralni ifodalaydi.
1. Faraz qilaylik, AV yoy tenglama bilan aniqlansin. Bunda funksiya segmentda aniqlangan uzluksiz va uzluksiz hosilaga ega bo’lsin. AV yoyning uzunligi
(1)
bo’ladi.

1. 
   Faraz qilaylik, AV yoy
   

tenglamalar sistemasi bilan aniqlansin (bu holda egri chiziq parametrik holda berilgan deyiladi). Bunda , funksiyalar da aniqlangan, uzluksiz va uzluksiz hosilalarga ega.
AV yoyning uzunligi;

bo’ladi.
3. Faraz qilaylik, AV egri chiziq qutb koordinatalar sistemasida funksiya bilan berilgan bo’lsin. Bunda funksiya segmentda uzluksiz va hosilaga ega. Bu holda AV egri chiziqning uzunligi
(3)
bo’ladi.
4. Aniq intergalning biologiyaga bazi tadbiqlari.
Populyasiya mikdori.
Vaqt o’tishi bilan populyasiya miqdori o’zgarib turadi. Agar populyasiya uchun sharoit yetarlicha yaxshi bo’lsa, u holda tug’ilish soni o’lishga nisbatan ko’p bo’ladi. Populyasiya tezligini (birlik vaqt ichida ) bilan belgilaymiz. Eski populyasiya yashash joyida tezlik kamayadi va asta-sekin nolga yaqinlashadi. Lekin populyasiya yosh bo’lsa, o’zaro bir-biri bilan bo’lgan munosabatlar hali o’rnatilmagan bo’lsa yoki mavjud bo’lgan bazi tashqi ta’sirlar bunga ta’sir qilsa, misol uchun insonning aralashuvi, u holda tezlik sezilarli darajada ko’payib yoki kamayib to’radi.
Agar populyasiya tezligi ma’lum bo’lsa, u holda biz t₀ dan T vaqtgacha bo’lgan oraliqda populyasiya miqdorining o’sishini topa olamiz. Haqiqatdan ham t vaqt ichida ta’rifidan, bu funksiya N(t) populyasiya miqdoridan olingan hosilaga teng va bundan kelib chiqadiki N(t) populyasiya miqdori funksiyaning boshlang’ich funksiyasi. Shuning uchun
(1)
Ma’lumki juda yaxshi sharoitda populyasiya tezligining o’sishi bo’ladi. Populyasiya bu holda keksaymaydi. Bu holda (1) formuladan foydalanib, quyidagiga ega bo’lamiz:


(2)

Bu formula orqali ba’zi zambrug’larning (penisillin ajratib chiqaradigan) miqdorini hisoblab chiqarish mumkin.

Populyasiya biomassasi.
Shunday biomassalarni qaraymizki hayoti davomida massasi sezilarli o’zgaradi va shu populyasiya umumiy biomassasini hisoblaymiz. Aytaylik, qaysidir birlik vaqtning o’sishini aniqlasin, N( ) o’sishi ga teng populyasiyaning maxsus miqdori. R( )-maxsus o’sishidagi o’rtacha massa, M( )- 0 dan o’sishgacha bo’lgan biomassa.
Shuni aniqlaymizki, N( )R( ) ko’paytma o’sishdagi biomassaga teng. Ayirmani qaraylik,

Yuqoridagi ayirma dan o’sishdagi biomassa, quyidagini qanoatlantiradi:


(3)
bu yerda funksiyaning oraliqdagi -yetarlicha kichik, -yetarlicha katta miqdorlari. ni hisobga olib (3) tengsizlikdan quyidagiga kelamiz.


(4),

N( )R( ) funksiyalar uzluksizligidan (yani N( ) va R( ) larning uzluksiz bulgani uchun ) quyidagiga kelamiz.

,

bundan yoki kelib chiqadiki, M( ) biomassa N( )R( ) larning boshlang’ich funksiyasi. Demak

,
bu yerda T-berilgan biomassaning maksimal yoshi. M(0) aniqki nolga teng, u holda

bu ifoda orqali populyasiyaning umumiy biomassasini hisoblaymiz.