5– Ma’ruza Mavzu: Nuqta kinematikasi

Mtnb -o‘qlarda nuqtaning tezlik vektori faqat bitta o‘qqa (98- shakl), ya’ni urinma Mt -o‘qqagina -proektsiyalanadi xolos va yoki bo‘ladi. Demak, -tezlikning moduli bilan bir xil bo‘lishi mumkin yoki ishorasi teskari bo‘lishi mumkin. Shu sababli, bundan keyin -ni faqat v -orqali belgilaymiz, ya’ni t -indeksni tashlab yuboramiz va uni tezlikning algebraik qiymati deb ataymiz. Alohida ta’kidlanmagan hollardan tashqari har doim tezlikning modulini v -harfi bilan belgilaymiz va alohida ta’kidlangan holda uning modulini - belgi orqali ifodalaymiz.
Tezlikning moduli v -ni aniqlash.Agar nuqta Dt -vaqt ichida, traektoriya bo‘ylab MM₁= Ds yoydan iborat masofani bosib o‘tgan bo‘lsa (98- shakl), u holda shu vaqt oralig‘idagi o‘rtacha tezlik bo‘ladi, Dt nolga intilganda,

Shunday qilib, nuqtaning olingan vaqtdagi tezligining son qiymati, uning (egri chiziqli) harakat qonuni s - dan vaqt bo‘yicha olingan birinchi hosilasiga teng ekan.
Tezlikning son qiymati v-ni nuqtaning bosib o‘tgan elementar masofasi ds -ni, shu yo‘lni bosib o‘tishga sarflangan elementar dt - ga nisbati orqali ham aniqlash mumkin ekan. Demak, hardoim dt>0 bo‘lgani uchun, v -ning ishorasi ds -ning ishorasi bilan bir xil bo‘ladi. Shu sababli, agar v>0 bo‘lsa, nuqtaning tezlik vektori s -koordinataning musbat tomoniga qarab yo‘nalar ekan, agar v<0 bo‘lsa teskari tomonga yo‘nalar ekan. Shunday qilib, v -qiymati bir vaqtning o‘zida tezlikning ham modulini, ham uning yo‘nalishini aniqlab berar ekan.
11.4 § Nuqtaning urinma va normal tezlanishi.
39§-da ta’kidlangandek, nuqtaning tezlanish vektori - , tabiiy o‘qlarning yondoshuvchi tekisligida yotadi, ya’ni Mtn - tekislikda joylashadi. Demak, tezlanish vektori - -ning binormal Mb -o‘qdagi proektsiyasi nolga (a_b=0) teng bo‘ladi. Endi tezlanishning boshqa ikkita o‘qdagi proektsiyasini aniqlaymiz. (10.10) tenglikning ikkala tomonini Mt va Mn -o‘qlarga proektsiyalaymiz va ularni tegishlicha va -belgilar bilan ifodalaymiz. U holda tezlik vektorining elementar o‘zgarishi -ni Mt va Mn -o‘qlardagi proektsiyalari:
va (18)


99- shakl
bo‘ladi. -vektori yonma yon joylashgan M va M’ nuqtalardagi tezlik vektorlarning ayirmasidan iborat, ya’ni bo‘ladi. Umumiy nuqta M-dan = va = (99-b shakl) vektorlarni qo‘yaylik; u holda bo‘ladi va cheksiz kichkina dj - burchakda ACBD yuzachani to‘g‘ri to‘rt burchak deb hisoblash mumkin. Shu sababli =AC=DB=MB-MA=v'-v=dv bo‘ladi, bu erda dv -tezlik vektorining elementar orttirmasi.
Cheksiz kichkina markaziy burchak uchun yoyning nisbatini shu yoyni tortib turuvchi vatarga nisbati birga teng bo‘lganligi uchun, AD -ni MA radiusli yoy deb qabul qilish mumkin. U holda shu AD yoyning uzunligi AD= =MA×dj=v×dj bo‘ladi. Aniqlangan va qiymatlarni (18) tenglamaga qo‘ysak,
(11.10)
bo‘ladi.
Egri chiziqning yonma-yon ikki nuqtasidagi urinmalar orasidagi burchak qo‘shni burchaklar deb ataladi; u holda dj -elementar qo‘shni burchak bo‘ladi; Shuni eslatib o‘tish lozimki, dj -ning ds=MM' -ga nisbati, M nuqtadagi egrilik deb ataladi va k - qiymat nuqtaning shu joydagi egrilik radiusining teskari nisbatiga teng bo‘ladi, ya’ni
dj/ds=k=1/r (11.11)
bo‘ladi. Bu qiymatni (11.10) tenglamalarning ikkinchisiga qo‘yamiz va (11.8) ni e’tiborga olgan holda o‘zgartirish kiritamiz,

Yuqoridagilarga asosan, tezlanishning tabiiy o‘qlardagi proektsiyalarini aniqlash uchun quyidagi formulalarni keltirib chiqardik, ya’ni
; ; ; (11.12)
Shunday qilib, nuqtaning tezlanishini urinma o‘qqa proektsiyasi tezlikning son qiymati (moduli)dan vaqt bo‘yicha olingan birinchi hosilaga yoki masofa (egri chiziqli koordinata) s -dan vaqt bo‘yicha olingan ikkinchi hosilaga teng ekan. Nuqta tezlanishining normal o‘qdagi proektsiyasi esa tezlikning son qiymatini kvadratini, shu nuqtadagi egrilik radiusi r -ga nisbatiga teng ekan;. Tezlanishning binormal o‘qdagi proektsiyasi har doim nolga teng bo‘lar ekan. Bular kinematikaning eng asosiy teoremalaridan biri hisoblanadi. va -kattaliklar nuqtaning urinma va normal tezlanishlari deb ataladi.
Agar M nuqta bitta tekislikda yotuvchi egri chiziq bo‘ylab harakatlansa Mt -urinma o‘q, binormal Mb - o‘q atrofida w=dj/dt burchakli tezlik bilan aylanma harakat qiladi. Shu sababli (11.10) sistemaning ikkinchi formulasi orqali injenerlik hisoblarida ko‘p foydalaniladigan normal tezlanishning qiymatini aniqlovchi tenglikni keltirib chiqaramiz, ya’ni
(11.13)
Bundan ko‘rinib turibdiki, nuqtaning normal tezlanishi uning tezligini, traektoriyaga urinma bo‘lgan o‘qning shu nuqta atrofida aylanishidagi burchakli tezlikka algebraik ko‘paytmasiga teng bo‘lar ekan.


100-shakl.
To‘liq tezlanishning traektoriyaga urinma -Mt bo‘ylab tashkil etuvchi vektori - ni va Mn -normal o‘q bo‘ylab normal tashkil etuvchi vektori - ni shaklga keltirib qo‘yamiz (124 shakl). Tezlanishning normal tashkil etuvchisining moduli hech qachon manfiy bo‘lmaydi, ya’ni har doim >0 bo‘ladi, shuning uchun uning yo‘nalishi traektoriyaning faqat botiq tomoniga yo‘nalgan bo‘ladi. Urinma tezlanish -vektorning son qiymati ham manfiy, ham musbat ishoralar qabul qilishi mumkin, shu sababli u -ning ishorasiga bog‘liq ravishda yo‘nalishi Mt o‘qining tegishlicha musbat yoki manfiy tomoniga yo‘nalgan bo‘ladi (100- a, b shakllar).
To‘liq tezlanish vektori , urinma - va normal - tezlanish vektorlariga qurilgan parallelogrammning diagonaliga teng bo‘lar ekan. va - vektorlar o‘zaro perpendikulyar yo‘nalgan bo‘lganliklari uchun, -vektorning moduli va uning normal Mn -o‘q bilan tashkil qilgan m -burchagi quyidagi formulalar orqali aniqlanadi:
(11.14)
bu erda -p/2 £ m £ p/2; m>0 bo‘lganda to‘liq tezlanish vektori - , Mn - o‘qidan Mt o‘qi tomonga og‘adi (100- a shakl), agar m<0 bo‘lsa teskari tomonga og‘adi (100- b shakl).
Shunday qilib, agar nuqtaning harakati tabiiy o‘qlarda berilgan bo‘lsa, u holda traektoriya (va o‘z navbatida ixtiyoriy nuqtaning radius vektori ma’lum bo‘ladi) va harakat qonuni s=f(t) ma’lum ekanligidan foydalanib, (11.5), (11.12) va (11.14) formulalar orqali nuqtaning ixtiyoriy olingan vaqtidagi tezlik va tezlanishlarining qiymatlarini aniqlash mukin ekan.
11.5 § Nuqtaning ba’zi bir xususiy hollardagi harakati.
Yuqorida aniqlangan natijalardan foydalanib, nuqta harakatining ba’zi bir xususiy hollarini ko‘rib chiqamiz.
1. To‘g‘ri chiziqli harakat. Agar nuqtaning traektoriyasi to‘g‘ri chiziqdan iborat bo‘lsa, u holda r=¥ bo‘ladi.
Shu sababli bo‘ladi va nuqtaning to‘liq tezlanishi faqat urinma tezlanishdan iborat bo‘ladi, ya’ni
(11.15)
Bunday harakatda tezlik vektori faqat moduli bo‘yicha o‘zgarishini e’tiborga olsak, urinma tezlanish faqat tezlikning son qiymatini o‘zgarishini belgilar ekan xolos.
2. Egri chiziqli tekis harakat. Agar nuqtaning egri chiziqli harakatida, uning tezligini son qiymati (moduli) o‘zgarmas bo‘lsa, bunday harakat egri chiziqli tekis harakat deb ataladi; ya’ni v=const bo‘lsa, u holda bo‘ladi va to‘liq tezlanish faqat normal tezlanishdan iborat bo‘ladi, ya’ni
, (11.16)
Nuqtaning tezlanish vektori har doim traektoriyaning normali bo‘ylab yo‘nalgan bo‘ladi.
Bunday harakatda tezlanish vektori faqat tezlik vektorining yo‘nalishini o‘zgarishi hisobiga paydo bo‘lar ekan, shu sababli normal tezlanish tezlik vektorining yo‘nalishini xarakterlar ekan.
Egri chiziqli tekis harakat qonunini aniqlaylik. (11.5) formuladan ma’lumki ds=vdt. Harakatni kuzatishni boshlagan paytimizda (ya’ni t=0 s) hisob sistemasining markazidan - masofada joylashgan bo‘lsin. U holda oxirgi tenglikning o‘ng va chap tomonlaridan tegishli chegaralarda aniq integrallar olib, quyidagini hosil qilamiz,
yoki
chunki v=const. U holda yakuniy natija, ya’ni nuqtaning egri chiziqli tekis harakatining qonuni quyidagicha bo‘ladi,
(11.17)
Agar (11.17) tenglikda bo‘lsa, s -ning qiymati, t - vaqt ichida bosib o‘tilgan yo‘lni aniqlab beradi. Demak, egri chiziqli tekis harakatda, nuqtaning bosib o‘tgan yo‘li vaqtga proportsional ravishda o‘zgarar ekan, nuqtaning tezligi bosib o‘tilgan yo‘lni vaqtga nisbatiga teng ekan:
s=vt bundan v=s/t (11.18)
3. To‘g‘ri chiziqli tekis harakat. Bunday harakatda nuqtaning urinma va normal tezlanishlari = =0 bo‘ladi, demak a=0 bo‘ladi. Shunga e’tibor berish lozimki bunday holat, ya’ni nuqtaning to‘liq tezlanish nolga teng bo‘lishi, faqat to‘g‘ri chiziqli tekis harakatdagina nolga teng bo‘lar ekan xolos.
4. Egri chiziqli tekis o‘zgaruvchan harakat. Agar nuqtaning egri chiziqli harakatida urinma tezlanishning son qiymati o‘zgarmas (ya’ni ) bo‘lsa, bunday harakat egri chiziqli tekis o‘zgaruvchan harakat deb ataladi. Harakatni kuzatishni boshlaganimizda, ya’ni t=0 s -da nuqta traektoriyaning holatida tezlik bilan harakatlanayotgan bo‘lsa, shu nuqtaning harakat qonunini aniqlaylik. (11.12) tenglamalarning birinchisidan ekanligini aniqlaymiz. So‘ngra ushbu tenglikning ikkala tomonidan tegishli chegaralarda aniq integral olsak, ekanligi sababli
v= + t (11.19)
aniqlaymiz.(11.19) tenglamani, quyidagicha yozib olamiz, ya’ni
yoki ds= dt+ t×dt
bu tenglamani tegishli chegaralarda yana bir marta integrallasak, egri chiziqli tekis o‘zgaruvchan harakatning qonunini aniqlayiz, ya’ni
(11.20)


101-shakl
bunday harakatdagi nuqtaning tezligi(11.19) formula orqali aniqlanadi.
Agar nuqtaning egri chiziqli harakatida uning tezlik moduli ortib borsa, bunday harakat tezlanuvchan harakat deb ataladi, agar tezlikning moduli kamaya borsa sekinlanuvchan harakat deb ataladi.
Tezlikning modulini o‘zgarishi, faqat urinma tezlanish orqali xarakterlanganligi sababli, agar v va -lar bir xil ishorali ( -bilan -vektorlar orasidagi burchak o‘tkir, 101- a shakl) bo‘lsa harakat tezlanuvchan bo‘ladi, aks holda ( -bilan -vektorlar orasidagi burchak o‘tmas, 101- b shakl ) sekinlanuvchan bo‘ladi. Tekis o‘zgaruvchan harakatda(11.19) formuladagi v va a larning ishoralari bir xil bo‘lsa, harakat tezlanuvchan, aks holda sekinlanuvchan bo‘ladi.
(11.17) va (11.20) formulalarda s=x deb qabul qilsak, ular nuqtaning to‘g‘ri chiziqli tekis harakati va to‘g‘ri chiziqli tekis o‘zgaruvchan harakatining qonuniyatlari ham bo‘ladi. Hamda(11.19) va (11.20) tenglamalarda bo‘ladi, a - harakatlanayotgan nuqta tezlanishining son qiymati (23 formulaga qarang).
5. Garmonik tebranma harakat. Quyida, nuqtaning koordinata boshi O nuqtagacha bo‘lgan x -masofasi,