5– Ma’ruza Mavzu: Nuqta kinematikasi

3- masala. Bo‘yi h -ga teng bo‘lgan odam, N - balandlikka osilgan fonarning tagidan boshlab o‘zgarmas tezlik -u bilan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab uzoqlashmoqda (96- shakl). Odamning erdagi soyasining uchi qanday tezlik bilan harakatlanishi aniqlansin.
Echish. Masalani echish uchun, odamning harakatidagi soyasi uchining harakat qonunini aniqlash zarur bo‘ladi. Hisob boshi qilib fonarning tagida joylashgan O nuqtani tanlab olamiz va Ox o‘qini odamning harakati bo‘ylab yo‘naltiramiz. Odamni ixtiyoriy holatdagi o‘rnida, ya’ni O nuqtadan x₁ masofada tasvirlaymiz.U holda soyasining uchi O nuqtadan x₂ masofada bo‘ladi. OAM va DAB uchburchaklarning o‘xshashligidan foydalanib,

ekanligini yozamiz. Ushbu tenglama soyaning uchidagi M nuqtaning harakat qonuni bo‘lib xizmat qiladi, agar odamning harakat qonuni x₁=f(t) ma’lum bo‘lsa, soyaning harakatini aniqlash mumkin bo‘ladi.
Yuqoridagi tenglikning ikkala tomonidan vaqt bo‘yicha bir marta hosila olamiz va ekanligini e’tiborga olib, soyaning tezligi -v ni aniqlaymiz,

Agar odamning tezligi o‘zgarmas (u=const) bo‘lsa, soyaning uchini tezligi ham o‘zgarmas bo‘ladi, lekin soyaning tezligi odamning tezligidan H/(H-h) marta katta bo‘ladi.
Shuni ta’kidlab o‘tish lozimki, nuqta yoki mexanizm (yoki odamning)larning harakat tenglamasi tuzganimizda, uning ixtiyoriy (mumkin bo‘lgan) holatdagi o‘rniga qo‘yish lozim bo‘ladi (50 masalaga qarang). Faqat shundagina nuqta (jism) ning ixtiyoriy vaqtdagi holatini belgilab beradigan tenglama tuzish mumkin bo‘ladi.

97- shakl

4- masala. Krivoship - polzunli mexanizm shatunining o‘rtasida joylashgan M nuqtaning traektoriyasi, tezligi va tezlanishi aniqlansin (97- shakl). Krivoship OA j=wt qonun bo‘yicha harakatlanmoqda. OA=AB=2b.
Echish. Masalani M nuqtaning harakatining tenglamasini aniqlashdan boshlaymiz. O nuqtadan boshlab x va y o‘qlarini o‘tkazamiz va krivoshipning ixtiyoriy holatdagi o‘rnida uning o‘rtasidagi M nuqtaning koordinatalarini aniqlaymiz,
x=2bcosj+bcosj, y=bsinj
j - ning qiymatini keltirib qo‘ysak, M nuqtaning harakat qonunini aniqlaymiz, ya’ni
x=3bcoswt, y=bsinwt.
M nuqtaning traektoriyasini aniqlash uchun, bu tenglamani quyidagi ko‘rinishga keltiramiz,

bu tenglamalarni ikkala taraflarini kvadratga ko‘tarib qo‘shsak, M nuqtaning traektoriyasining tenglamasi kelib chiqadi:

Demak, M nuqta yarim o‘qlari 3b va b lardan iborat ellips bo‘ylab harakat qilar ekan. Endi (11.2) va (11.4) formulalar orqali, M nuqtaning tezligini aniqlaymiz,


ushbu formuladan ko‘rinib turibdiki, M nuqtaning tezligi vaqtga bog‘liq ravishda o‘zgaruvchan bo‘lib, maksimal va minimal qiymatlari quyidagicha bo‘lar ekan; va m/s.
Endi (11.6) formula orqali M nuqtaning tezlanishini o‘qlardagi proektsiyalarini aniqlaymiz,


bular orqali, tezlanishning modulini aniqlaymiz,

bu erda r- koordinata boshidagi O nuqtadan to M nuqtagacha o‘tkazilgan radius vektorning uzunligi. Demak, tezlanishning moduli M nuqtadan ellipsning markazigacha bo‘lgan masofaga proportsional ravishda o‘zgarar ekan.
Tezlanish vektori -ning yo‘nalishini (11.8) formulalar orqali aniqlaymiz,
;
Bu formulalardan ko‘rinib turibdiki, M nuqtaning tezlanish vektori 48 masaladagi kabi, MO chizig‘i bo‘ylab doimo markazga qarab yo‘nalgan bo‘lar ekan.
11.3 § Tabiiy uch yoqlik. Tezlikning son qiymati.
Quyida, nuqtaning harakat qonuni tabiiy o‘qlarda berilganda (37§ ga qarang), ya’ni nuqtaning traektoriyasi va shu traektoriya bo‘ylab harakat qonuni s=f(t) berilganda uning tezlik va tezlanishlarini qanday aniqlanishini ko‘rib o‘tamiz.


98- shakl.
Harakat qonuni bu usulda berilganda, tezlik - va tezlanish - vektorlari ularning qo‘zg‘almas Oxyz o‘qlaridagi (40§ ga q.) proektsiyalari orqali emas, balki boshi harakatlanuvchi M nuqtaga qo‘yilgan va nuqta bilan birgalikda qo‘zg‘aluvchan Mtnb o‘qlardagi proektsiyalari orqali aniqlanadi (98- shakl).
Bu o‘qlar uchyoqli tabiiy o‘qlar (yoki tezlik o‘qlari) deb atalib, quyidagicha yo‘nalgan bo‘ladilar: Mt -o‘qi traektoriyaga urinma holda bo‘lib, hisob sistemasi s -ning musbat tomoniga qarab yo‘naladi; Mn - o‘qi traektoriyaning normali bo‘yicha yo‘nalib, yondoshgan tekislikda joylashadi va har doim traektoriyaning botiq tomoniga yo‘naladi; Mb -o‘qi oldingi ikki o‘qlarga perpendikulyar holda yo‘nalib, ular bilan o‘ng qo‘l hisob sistemasini tashkil etadi.
Yondoshgan tekislikda yotuvchi (agar egri chiziq tekislikda joylashsa, u ham shu tekislikda yotuvchi) Mn -o‘qi bosh normal, va unga perpendikulyar bo‘lgan Mb -o‘q binormal o‘q deb ataladi.