5-Mavzu. Lobachevskiy geometriyasi elementlari. Lobachevskiy tekisligida to’g’ri chiziqlar, ekvidistant va orisikl chiziqlar

3.1-teorema. Agar nuqtaga nisbatan bo’lsa, u holda to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi uchun ham bo’ladi.
Isbot. Avvalo shuni ta’kidlaymizki, bo’lgani uchun bilan kesishmaydi (5- chizma). Ikki holni tekshiramiz:
1-hol. nuqta nurga tegishli bo’lsin. to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasini olib, va to’g’ri chiziqlarni o’tkazamiz, so’ngra ning ichidan nurni o’tkazamiz. bilan to’g’ri chiziqlarning kesishishligini ko’rsatamiz. nurda ixtiyoriy nuqtani olaylik, agar nuqta ga tegishli bo’lsa, yoki nuqta to’g’ri chiziqqa nisbatan bilan har xil tomonda joylashib qolsa teorema isbot etilgan bo’ladi. nuqta nuqta bilan birga to’g’ri chiziqning bir tomonida yotsin. U holda nur bilan biror nuqtada kesishadi (chunki ).
uchburchak va to’g’ri chiziq uchun Pash aksiomasini tatbiq qilsak, to’g’ri chiziq yoki kesmalardan birini kesishi kerak, lekin ni kesmaydi, chunki, u kesma ning tashqarisida, nur esa uchburchakning ichida, demak nur ni kesadi va .
2- hol. nuqta nurga tegishli bo’lmasdan, uning to’liruvchisiga tegishli bo’lsin, ya’ni nuqta bilan ning orasida yotsin. , , nuqtalardan uchburchakni hosil qilamiz (6- chizma). ning ichidan o’tgan ixtiyoriy nurni bilan kesishishligini isbotlasak, maqsadga erishgan bo’lamiz. ning toldiruvchisida biror nuqtani olib, to’g’ri chiziqni o’tkazsak, y ning ichidan o’tadi va bo’lgani uchun bilan biror nuqtada kesishadi. U holda uchburchak va to’g’ri chiziq uchun Pash aksiomasidan nur bilan kesishadi degan natijaga kelamiz. Parallel to’g’ri chiziqlar haqida gapirilganda ularning qaysi nuqtasiga nisbatan parallelligi ta’kidlanmaydi.