6-Ma’ruza mashg’ulot. “Bernulli va Rikkati tenglamalari” ma’ruza mashg‘ulotining ta’lim texnologiyasi modeli

Rikkati tenglamasi(1676-1754 Italiya)

Rikkati tenglamasining umumiy ko’rinishi

(1)
dan iborat. Bunda va lar ko’rilayotgan oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiyalardir.
Rikkati tenglamasining 2 ta xossasini isbotsiz keltiramiz.
1* xossa. Rikkati tenglamasida erkli uzgaruvchini almashtirsak, yana Rikkati tenglamasiga ega bo’lamiz. - differensiallanuvchi funksiya.
2* xossa. Rikkati tenglamasida noma’lum funksiyani kasr-chiziqli funksiya shaklida almashtirsak, xosil bo’lgan tenglama yana Rikkati tenglamasi bo’ladi.

bunda larixtiyoriyuzluksizdifferensiallanuvchifunksiyabo’lib shartibajarilishikerak.
TEOREMA.1 Agar Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi berilgan bo’lsa, uning umumiy yechimi 2 ta kvadratura yordamida aniqlanadi.
Isbot. (1) tenglamaning yechimi bo’lsin ya’ni
(2)
almashtirishini olamiz. (3)
_{ } yangi noma’lum funksiya. Bu almashtirish Rikkati tenglamasining chiziqli tenglamaga aylantiradi.
Haqiqatan ham (3) dan.
(4)
(3)va (4) ga asosan (1) tenglamani

(2) ni e’tiborga olsak, keyingi tenglamani
(5)
Ko’rinishga keltirish mumkin. Bu esa chiziqli differensial tenglama bo’lib uning umumiy yechimi ikkita kvadratura yordamida aniqlanadi.
(5) tenglamadan aniqlangan _{ } qiymatini (3) ga olib borib qo’ysak, Rikkati tenglamasining umumiy yechimiga ega bo’lamiz.
Teorema 2. Agar Rikkati tenglamasining ikkita xususiy yechimlari berilgan bo’lsa, u holda tenglamaning umumiy yechimi bitta kvadratura yordamida aniqlanadi.
Isbot (3) dan
Agar y₁, y₂ Rikkati tenglamasining xususuiy yechimlari bo’lsa, u holda (5) tenglamaning bitta xususiy yechimi
dan iborat .
Ma’lumki (5) ning bitta xususiy yechimi berilgan bo’lsa, uning umumiy yechimi bitta kvadratura yordamida aniqlanadi.