6-Ma’ruza mashg’ulot. “Bernulli va Rikkati tenglamalari” ma’ruza mashg‘ulotining ta’lim texnologiyasi modeli

Teorema 3 Agar Rikkati tenglamasining 3 ta xususiy yechimlari ma’lum bo’lsa, uning umumiy yechimi kvadraturasiz aniqlanadi.
Isbot Agar y_1, y_2, y₃ Rikkati tenglamasining xususiy yechimlari bo’lsa, (5) tenglama _{ }xususiy yechimdan tashqari
xususiy yechimga ega bo’ladi. U holda (5) tenglamaning 2 ta xususiy yechimi ma’lum bo’lgani uchun uning umumiy yechimi kvadraturasiz aniqlandi.

Bu Rikkati tenglamasining umumiy integrali bo’ladi.

Maxsus Rikkati tenglamasining umumiy ko’rinishi
(6)
dan iborat.
Bunda A va B lar o’zgarmas sonlar. Agar (6) tenglamada bo’lsa u o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga aylanadi.

Agar (6) tenglamada bo’lsa, (6) tenglamani

ko’rinishda yozish mumkin. Bu tenglamani almashtirish yordamida uni O’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltirish mumkin.
Haqiqatdan ham
Liuvill (1809-1882 fransuz), (6) tenglamada
(k-butun son)
Bo’lgandagina uning yechimini kvadratura yordamida aniqlash mumkin ekanligini isbot etgan.
Boshqa (k- butun son bo’lmaganda) hollarda tenglamaning yechimini kvadratura yordamida aniqlash mumkin emas.
2-Misol: tenglama xususiy yechimini ko’rinishda izlaymiz

almashtirish tenglamani chiziqli tenglamaga keltiradi. Bundan
tenglamaning umumiy yechimi
3-Misol butun funksiya u holda xususiy yechimni ko’rinishda izlaymiz.

Eslatma. Agar y₁(x), (1) tenglamaning xususiy yechimi bo’lsa,
y=y₁ +z almashtirish yordamida uni Bernulli
tenglamasiga, so’ngra u=z^-1
almashtirish yordamida chiziqli tenglamaga keltirish mumkin.