6-ma‘ruza. Mavzu: Vektorlar va ular ustida amallar. Reja

8. Skalyar ko’paytmani vektorlarning koordinalari orqali ifodalash.

=_х+_y+_z va =b_х+_у+_z

vektorlar berilgan bo’lsin. Skalyar ko’paytmani xossalari hamda (7.7) va (7.8) formulalarga asosan quyidagiga ega bo’lamiz.

·=(_х+_y+_z)(b_х+_у+_z)=

=_хb_х·+_хb_у·+_хb_z·+_уb_х·+_уb_у·+_уb_z·+

+_zb_х·+_zb_у·+_zb_z·=_хb_х+_уb_у+_zb_z.

Shunday qilib, koordinatalari yordamida berilgan ikki vektorlarning skalyar ko’paytmasi nomdosh koordinatalar ko’paytmalari yig’indisiga teng, ya‘ni ·=_х b_х+_уb_у+_zb_z. (7.9)

4-misol. =2+3- va =-3+4+2 vektorlarning skalyar ko’paytmasi topilsin.

Yechish. Misolda _х=2, _у=3, _z=-1, b_х=-3, b_у=4, b_z=2 bo’lganligi sababli (7.9) formulaga binoan ·=2·(-3)+3·4+(-1)·2=4 bo’ladi.

9. Ikki vektor orasidagi burchak.

Ikki vektorning skalyar ko’paytmasi ·=··cos(^) dan cos(^)= ni topamiz.

Agar vektorlar =_х+_y+_z, =b_х+b_у+b_z yoyilmari yordamida berilgan bo’lsa, u holda (7.9) dan hamda vektorni uzunligini topish formulasi (6.6) dan foydalanib vektorlar orasidagi burchakning kosinusini topish uchun

cos(^)= (7.10)

formulani hosil qilamiz.

5-misol. =-, =+2-2 vektorlar orasidagi burchak topilsin.

Yechish.(7.10) formulaga asosan

cos(^)===,

(^)=45⁰ bo’ladi. Demak qaralayotgan uchburchak teng yonli to’g’ri burchakli uchburchak ekan.

10. Ikki vektorning perpendikulyarlik sharti.

Skalyar ko’paytmani 4-xossasiga ko’ra va (nolmas) vektorlar perpendikulyar bo’lishi uchun ·=0 shartning bajarilishi zarur va yetarli edi. Bundan (7.9) formulaga asosan _х b_х+_уb_у+_zb_z=0 (7.11) ikki vektorning perpendikulyarlik shartini hosil qilamiz. Shunday qilib ikkita noldan farqli vektorlar o’zaro perpendikulyar bo’lishi uchun ularni nomdosh koordinatalari ko’paytmalarining yigindisi nolga teng bo’lishi zarur va yetarli ekan.

6-misol. = va vektorlar m ning qanday qiymatlarida perpendikulyar bo’ladi.

Yechish.Perpendikulyarlik sharti (7.11) ga asosan 2·4+(-3) ·2+(-1) ·m=0.

Bundan 2-m=0, m=2. Demak vektorlar m=2 da perpendikulyar bo’lar ekan.