6. Ўртача миқдорлар

6.2. Ўртача арифметик миқдорнинг турлари, унинг хусусиятлари ва уларни ҳисоблаш тартиби.
Юқорида таъкидлаб ўтилгандек, ўртача арифметик миқдорлар ўртача миқдорларнинг энг содда ва амалиётда жуда кенг қўлланиладиган турларидан бири бўлиб ҳисобланади. Бу миқдорлар оддий ва тортилган кўринишда бўлади.
Оддий арифметик ўртача миқдорлари ўрталаштирилаётган белги миқдорлари (вариантлари) бир ёки бир хил ҳолда такрорланган пайтда қўлланилади. Уни аниқлаш учун дастлаб ўрталаштирилаётган алоҳида (индивидуал) миқдорлар (х) йиғиндиси () аниқланади, сўнгра олинган натижа уларнинг сони (n) га бўлинади. Буни қуйидагича ёзиш мумкин:
(1)
Масалан, олти ишчининг бир ойлик иш ҳақи қуйидагича бўлсин: 28000, 28600, 29200, 29400, 29800, 30100.
У ҳолда:
сўмни ташкил этади.
Тортилган ўртача арифметик миқдорлари ўрталаштирилаётган белги миқдорлари (вариантлари) бир хил ҳолда такрорланмаган пайтда қўлланилади. Уни аниқлаш учун дастлаб ўрталаштирилаётган алоҳида (индивидуал) миқдор (х) лар унинг вазни (f) га кўпайтирилиб чиқилади ва олинган натижа (хf) ни унинг умумий вазн сони (f) га бўлинади. Буни қуйидагича ёзиш мумкин:
(2)
Энди тортилган ўртача арифметик миқдорларни ҳисоблаш тартибини қуйидаги жадвалда келтириб ўтамиз (33-жадвал):
33-жадвал
Хўжалик бригадалари бўйича иш ҳақи фондини ўртача арифметик тортилган формуласи орқали ҳисоблаш тартиби.

Бир ойлик иш ҳақи даражаси (сўмда), (вариантлар-х)	Ишчилар сони, (вазни-f)	Жами иш ҳақи фонди, (хf)
28000	2	56000
28600	4	114400
29200	3	87600
29400	5	147000
29800	3	89400
30100	3	90300
Йиғиндиси ()	20	584700

У ҳолда:
сўмни ташкил этади.

Айрим холларда ўртача миқдорлар оралиқ (интервал) қаторлар, умумий ва гуруҳий ўртачалар, шунингдек, нисбий миқдорлар асосида ҳам ҳисобланиши мумкин.
Ўртача миқдорларни интервалнили (оралиқли) қаторда ҳисоблашнинг ўзига хос хусусиятлари бор. Бунинг учун дастлаб ҳар бир интервал (оралиқ) гуруҳ бўйича ўртачани, сўнгра эса жами қаторлар бўйича умумий ўртачани ҳисоблаш лозим. Агарда, интервал (оралиқ) ёпиқ кўринишда бўлса, у ҳолда ҳар бир (интервал) оралиқ гуруҳ учун ўртача интервал (оралиқ) белгининг қуйи даражаси билан юқори даражи йиғиндисининг ярмига тенг бўлади. Агарда, интервал (оралиқ) очиқ кўринишда бўлса, у ҳолда биринчи гуруҳнинг қуйи даражасини топиш учун иккинчи гуруҳ интервалини (оралиғини) биринчи гуруҳнинг юқори даражасидан айириш керак, охирги гуруҳнинг юқори даражасини топиш учун эса ўзидан олдинги гуруҳ интервалини (оралиғини) шу гуруҳнинг қуйи даражасига қўшиш керак бўлади.
Интервал (оралиқ) қаторларда ўртачани ҳисоблаш тартибини қуйидаги мисолда кўриб чиқамиз (34-жадвалга қаранг):
34-жадвал
Ишчиларнинг ўртача иш ҳақи олишларига қараб гуруҳларга тақсимланиши.

Ўртача иш ҳақи бўйича ишчилар гуруҳлари (сўм ҳисобида), х	Ишчилар сони, f	Гуруҳлар бўйича ўртача иш ҳақи, (сўм ҳисобида), х	Ўртача оралиқларнинг ишчилар сонига бўлган кўпайтмаси (хf)
20000 гача	20	(18000+20000):2=19000	380000
20000-22000	30	(20000+22000):2=21000	630000
22000-24000	40	(22000+24000):2=23000	920000
24000 ва ундан юқори	10	(24000+26000):2=25000	250000
	f=100	-	хf=2180000

Жами 100 та ишчи бўйича ўртача иш ҳақини ҳисоблаймиз:

сўм.
Бу ерда шуни таъкидлаб ўтиш керак-ки, интервал (оралиқ) катталиги қанча кичик бўлса, ўртача шунча аниқ бўлади. Тенг миқдорли интервал (оралиқ) асосида ҳисобланган ўртача тенг бўлмаган интервал (оралиқ) асосида ҳисобланган ўртачага нисбатан аниқроқ бўлади, чунки тенг интервалли (оралиқли) қаторлар даражаси гуруҳий ўртачаларга яқинроқ бўлади.
Ўртача арифметик миқдорлар фақат умумий тўплам учун хос бўлган ўртачани тавсифлайди. Аммо амалий ишда умумий ўртачани ҳисоблаш билан биргаликда, шу умумий тўплам учун прогрессив ва регрессив ўртача ҳам ҳисобланади.
Прогрессив ўртача умумий тўплам ўртачасини эмас, балки шу ўртачадан юқори бўлган бирликлар ўртачасини тавсифласа, регрессив ўртача эса шу ўртачадан паст бўлган бирликлар ўртачасини тавсифлайди.
Бу ўртачани ҳисоблаш тартибини хўжалик бригадалари бўйича экин майдони мисолида кўриб чиқамиз:

Бригада рақамлари	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Экин майдони	260	270	280	270	260	270	280	300	300	280

Ушбу мисолимизда ўртача экин майдон сони қуйидагича аниқланади:
гектарни ташкил этади.
Мисолимизда умумий ўртача экин майдони бир бригада ҳисобига 277 га ни ташкил этса, 3,7,8,9 ва 10 бригадаларнинг экин майдони шу ўртачадан юқоридир, 1,2,4,5 ва 6 бригадаларнинг экин майдони эса шу ўртачадан пастдир.
Агарда, биринчи бешта бригада бўйича ўртача аниқланса, бу ўртача прогрессив ўрта бўлади:
га ни ташкил этади.
Агарда, иккинчи бешта бригада бўйича ўртача аниқланса, бу ўртача регрессив ўртача бўлади:
га ни ташкил этади.
Шу билан бирга умумий ўртача гуруҳий ва хусусий ўртачалар асосида ҳам ҳисобланиши мумкин. Масалан, уч гуруҳ пахтачилик ширкат хўжаликлари бўйича пахта ишлаб чиқариш режалари тўғрисидаги қуйидаги маълумотлар келтирилган (35-жадвал):
35-жадвал
Уч гуруҳ пахтачилик ширкат хўжаликларида ўртача
хосилдорлик ва экин майдони.

Хосилдорлик асосида ҳисобланган хўжаликлар гуруҳлари	Ўртача пахта хосилдорлиги, ц/га (хi)	Экин майдони, га (fi)	Ялпи хосил, ц (xifi)
Қолоқ хўжаликлар	15	6500	97500
Ўртача хўжаликлар	20	5000	10000
Илғор хўжаликлар	35	8000	280000
Жами	?	19500	477500

Бу ерда ўртача хосилдорлик жамоа хўжаликлари гуруҳлари бўйича келтирилган бўлиб, умумий ўртача хосилдорлик номаълум. Ана шундай холларда умумий ўртачани ҳисоблаш учун гуруҳий ўртачалар (x_i) ни экин майдони (вариант) (f_i) га кўпайтириб, уларнинг йиғиндисини ( ) вазнлар (экин майдони) ( ) йиғиндисига бўлиш керак:

ц/га ни ташкил этади.
Шунингдек, айрим холларда ўрта миқдорларни вазн (f), вариант (x_i) функциясини кўпинча нисбий миқдорлар ҳам бажариши мумкин. Буни қуйидаги мисол ечимида кўришимиз мумкин (36-жадвалга қаранг).
36-жадвал
Пахтачилик ширкат хўжаликларида режанинг бажарилиш даражаси.

Хўжаликлар гуруҳи	Режа, ц f	Режа бажарилиши (хi)	Режа бажарилиши, (ц да)	Машина терими салмоғи (фоизда) d
1	2	3	4(23)	5
Қолоқ хўжаликлар	97500	85	82875	60
Ўртача хўжаликлар	100000	105	105000	80
Илғор хўжаликлар	280000	120	336000	90
Жами	477500	?	523875	?

Энди ширкат хўжаликлари бўйича қуйидагиларни ҳисоблаймиз:

1. 
   
   

=

ёки 109,71 % ни ташкил этади.

Демак, шу ширкат хўжаликлари бўйича пахта ишлаб чиқариш режаси ўртача – 9,71 (109,71-100,00) % га ортиқ бажарилган.

ёки 83,25 % ни ташкил этади.
Демак, жами ишлаб чиқарилган пахтанинг 83,25 % ини пахта териш машиналари орқали йиғиштириб олинган.
Энди ўртача арифметик миқдорларнинг бир қатор хусусиятларини кўриб чиқамиз:
1. Агарда, аниқланган ўртачани унинг вазнлар йиғиндисига кўпайтирилса, у ҳолда бу варианти унинг вазн кўпайтмаси йиғиндисига ҳамма вақт тенг бўлади, яъни:


(3)

Масалан, хўжалик бригадасида ўртача иш ҳақи даражаси қуйидагича бўлсин (157-бетдаги 33-жадвалга қаранг).

сўмни ташкил этса, у ҳолда:
сўмга тенг бўлади.
2. Агарда, белгининг алоҳида миқдорларидан қандайдир бир «А»- сонни айирсак ёки уларга қандайдир «А»- сонни қўшсак, сўнгра ўртачани ҳисобласак, у ҳолда бу ҳисобланган ўртача ҳақиқий ўртачадан «А»- сонга шунча кичик ёки катта бўлади (ушбу ҳисоблаш тартибини 157-бетдаги 33-жадвал маълумотлари асосида бажарамиз), яъни (162-бетдаги 37 ва 38-жадвалларга қаранг):

а) (4)

бундан а^I)

б) (5)

бундан б^I)

37-жадвал

Ўртача миқдорларни камайтирилган вариантида ҳисоблаш тартиби.

Бир ойлик иш ҳақи даражаси, (сўмда) (варианталар – х)	х-А (А=28000)	Ишчилар сони (вазни – f)	(x-A)f
28000	0	2	0
28600	600	4	2400
29200	1200	3	3600
29400	1400	5	7000
29800	1800	3	5400
30100	2100	3	6300
Йиғиндиси ()	-	20	24700

;
.

38-жадвал

Ўртача миқдорларни қўшиб қўйиш вариантида ҳисоблаш тартиби.

Бир ойлик иш ҳақи даражаси, (сўмда) (варианталар – х)	х+А (А=28000)	Ишчилар сони (вазни – f)	(x+A)f
28000	56000	2	112000
28600	56600	4	226400
29200	57200	3	171600
29400	57400	5	287000
29800	57800	3	173400
30100	58100	3	174300
Йиғиндиси ()	-	20	1144700

;
.
3. Агарда, белгининг алоҳида миқдорларини қандайдир «А»-сонга кўпайтирсак ёки бўлсак, сўнгра ўртачани ҳисобласак, у ҳолда бу ҳисобланган ўртача ҳақиқий ўртачадан «А»-сонга шунча марта кўпайиши ёки камайиши мумкин (ушбу ҳисоблаш тартибини 33-жадвал маълумотлари асосида бажарамиз), яъни (39 ва 40-жадвалларга қаранг ):
а) (6)
бундан а^I)
б) (7)
бундан б^I)
39-жадвал
Ўртача миқдорларни кўпайтириш вариантида ҳисоблаш тартиби.

Бир ойлик иш ҳақи даражаси, (сўмда) (варианталар – х)	хА (А=5)	Ишчилар сони (вазни – f)	(xA)f
28000	140000	2	280000
28600	143000	4	572000
29200	146000	3	438000
29400	147000	5	735000
29800	149000	3	447000
30100	150500	3	451500
Йиғиндиси ()	-	20	2923500

40-жадвал
Ўртача миқдорларни бўлиш вариантида ҳисоблаш тартиби.

Бир ойлик иш ҳақи даражаси, (сўмда) (варианталар – х)	(А=5)	Ишчилар сони (вазни – f)	f
28000	5600	2	11200
28600	5720	4	22880
29200	5840	3	17520
29400	5880	5	29400
29800	5960	3	17880
30100	6020	3	18060
Йиғиндиси ()	-	20	116940

4. Агарда, алоҳида миқдорларнинг вазнини, учрашиш тезлиги (f) ни қандайдир «А»-сонга кўпайтирсак ёки бўлсак, сўнгра ўртача ни ҳисобласак, бу ҳисобланган ўртача ўзгармайди (ушбу ҳисоблаш тартибини 33-жадвал маълумотлари асосида бажарамиз), яъни (41-жадвалга қаранг):
41-жадвал
Ўртача миқдорларнинг вазнларини бўлиш орқали
ҳисоблаш тартиби.

Бир ойлик иш ҳақи даражаси, (сўмда) (варианталар – х)	Вазни (f)		х( )
28000	2	10	28000
28600	4	20	572000
29200	3	15	438000
29400	5	25	735000
29800	3	15	447000
30100	3	15	451500
Йиғиндиси ()	20	100	2923500

(8) (8^I)
Бу хосса шуни кўрсатадики, ўртача вазн ҳажмга (сонга, миқдорга) эмас, балки улар ўртасидаги нисбатга (салмоққа) боғлиқдир. Шунинг учун ҳам ҳажм вазифасини фақат мутлқ миқдорлар эмас, балки тузилмавий нисбий миқдорлар ҳам бажара олади (бунда, - фоизда ифодаланади).

5. Агарда, белгининг алоҳида миқдорлари билан уларнинг ўртача даражаси ўртасидаги тафовут йиғиндиси ҳисобланса, у ҳолда олинган натижа доимо нолга тенг бўлади (ушбу ҳисоблаш тартибини (33-жадвал маълумотлари асосида бажарамиз), яъни (42 ва 43-жадвалларга қаранг):
42-жадвал
Вазнсиз қаторларда ҳисоблаш тартиби ( )

х	28000	28600	29200	29400	29800	30100	х=175100
	28000,0-29183,3= -1183,3	28600,0-29183,3= -583,3	29200-29183,3= +16,7	29400-29183,3= +216,7	29800-29183,3= +616,7	30100-29183,3= +916,7	(х- )=0

- вазнсиз қаторларда; (9)
- вазнли қаторларда

43-жадвал
Вазнли қаторларда ҳисоблаш тартиби ( )

Бир ойлик иш ҳақи даражаси, (сўмда) (варианталар – х)	Ишчилар сони (вазни – f)		(х- )f
28000	2	28000-29235= -1235	-2470
28600	4	28600-29235= -635	-2540
29200	3	29200-29235= -35	-105
29400	5	29400-29235= +165	+825
29800	3	29800--29235= +565	+1695
30100	3	30100-29235= +865	+2595
Йиғиндиси ()	20	-	-5115 +5115

Бу хусусият ўртача арифметик миқдорларнинг тўғри ёки нотўғри ҳисобланганлигини текшириш учун керак бўлади.
Айрим холларда, юқоридаги хоссаларга асосланган ҳолда ўртачани ҳисоблашни анча соддалаштириш усулини қўллаш мумкин. Биз бу ҳолатни ўртача шартли момент усулида ҳисоблаш мисолида кўриб чиқамиз. Бу усулда берилган алоҳида миқдорлардан (х) қандайдир ўзгармас «А»-сони (одатда қатор ўртасидаги сон) айирилиб, олинган натижа «В»-сонга (катор оралиғи миқдорларига) бўлинади. Натижада Y¹ қатори хосил бўлади, яъни:

Сўнгра янги қатор У¹ учун ўртача миқдор ҳисобланади:

Ҳисобланган ўртачани ўзгармас «В»-сонга кўпайтириб, сўнгра унга «А»-сонни қўшсак, ҳақиқий ўртача келиб чиқади:
ёки
Ўртача миқдорни шартли момент усулида ҳисоблаш тартибини қуйидаги мисолда кўриб чиқамиз (44-жадвал):
44-жадвал
Хўжаликларнинг хосилдорлиги бўйича гуруҳланиши

Хўжаликларнинг хосилдорлиги бўйича гуруҳлари	Хўжалик-лар сони f	Оралиқ-лардаги ўртачаси х	А=27,5 В=5	Y^1f
1	2	3	4	5(4х2)
15-20	4	17,5	(17,5-27,5):5=2	(-2)х4=-8
20-25	8	22,5	(22,5-27,5):5=-1	(-1)х8=-8
25-30	12	27,5	(27,5-27,5):5=0	0х12=0
30-35	10	32,5	(32,5-27,5):5=+1	(+1)х10=+10
35-40	6	37,5	(37,5-27,5):5=+2	(+2)х6=+12
Жами	40	-	-	+6

Энди ушбу жадвалда келтирилган маълумотлар асосида ҳисоблаймиз:

ёки 28,3 ц.ни ташкил этади.
Ўртача арифметик миқдорларни ҳисоблашнинг оддий усули ёрдамида олинган натижани текшириб ўтамиз:

ёки 28,3 ц.ни ташкил этади.
Кўриниб турибдики, ҳар иккала усулда ҳам ўртача хосилдорлик хўжаликлар бўйича 28,3 ц.ни ташкил этади. Тўғри, шартли момент усулида ўртачани ҳисоблаш гуё оддий усулга нисбатан мураккаброққа ўхшайди лекин бу фақат шундай туюлади. Ҳақиқаттан эса момент усулида ҳисоблаш анча соддалашади.