60-odd years of moscow mathematical

Tour 5.1
5.1.1. Solve the system:



3xyz − x
3
− y
3
− z
3
= b
3
,
x + y + z = 2b,
x
2
+ y
2
− z
2
= b
2
.
5.1.2. Prove that
cos
2π
5
+ cos
4π
5
= − 12.
5.1.3. Consider points A, B, C. Draw a line through A so that the sum of distances from B and C to
this line is equal to the length of a given segment.
5.1.4. Solve the equation
p
a −
√
a + x = x for x.
5.1.5. Prove that for any triangle the bisector lies between the median and the height drawn from the
same vertex. (See Fig. 2.)
Figure 2. (Probl. 5.1.5)
Figure 3. (Probl. 5.2.3)
Tour 5.2
5.2.1. Factor a
10
+ a
5
+ 1 into nonconstant polynomials with integer coefficients.
5.2.2. Let the product of two polynomials of a variable x with integer coefficients be a polynomial with
even coefficients not all of which are divisible by 4. Prove that all the coefficients of one of the polynomials
are even and that at least one of the coefficients of the other polynomial is odd.
5.2.3. Given two points A and B and a circle, find a point X on the circle so that points C and D at
which lines AX and BX intersect the circle are the endpoints of the chord CD parallel to a given line M N .
(See Fig. 3.)
5.2.4. Find the remainder after division of 10
10
+ 10
10
2
+ 10
10
3
+ · · · + 10
10
10
by 7.
5.2.5. Consider a regular pyramid and a perpendicular to its base at an arbitrary point P . Prove that
the sum of the lengths of the segments connecting P to the intersection points of the perpendicular with the
planes of the pyramid’s faces does not depend on the location of P .
5.2.6. What is the greatest number of parts that 5 spheres can divide the space into?

---

OLYMPIAD 6 (1940)
27
Olympiad 6 (1940)
Tour 6.1
Grades 7 − 8
6.1.7-8.1. Factor (b − c)
3
+ (c − a)
3
+ (a − b)
3
.
6.1.7-8.2. It takes a steamer 5 days to go from Gorky to Astrakhan downstream the Volga river and 7
days upstream from Astrakhan to Gorky. How long will it take for a raft to float downstream from Gorky
to Astrakhan?
6.1.7-8.3. How many zeros does 100! have at its end in the usual decimal representation?
6.1.7-8.4. Draw a circle that has a given radius R and is tangent to a given line and a given circle. How
many solutions does this problem have?
Grades 9 − 10
6.1.9-10.1. Solve the system:
½
(x
3
+ y
3
)(x
2
+ y
2
) = 2b
5
,
x + y = b.
6.1.9-10.2. Consider all positive integers written in a row:
123456789101112131415 . . . .
Find the 206788-th digit from the left.
6.1.9-10.3. Construct a circle equidistant from four points on a plane. How many solutions are there?
6.1.9-10.4. Given two lines on a plane, find the locus of all points with the difference between the
distance to one line and the distance to the other equal to the length of a given segment.
6.1.9-10.5. Find all 3-digit numbers abc such that abc = a! + b! + c!.