60-odd years of moscow mathematical

Tour 6.2
Grades 7 − 8
6.2.7-8.1. See Problem 2.1.1.
6.2.7-8.2. Points A, B, C are vertices of an equilateral triangle inscribed in a circle. Point D lies on
the shorter arc,
˘
AB (not
˘
ACB); see Fig. 4. Prove that AD + BD = DC.
Figure 4. (Probl. 6.2.7-8.2)
6.2.7-8.3. How does one tile a plane, without gaps or overlappings, with the tiles equal to a given
irregular quadrilateral?
6.2.7-8.4. How many pairs of integers x, y are there between 1 and 1000 such that x
2
+ y
2
is divisible
by 49?
Grades 9 − 10
6.2.9-10.1*. Given an infinite cone. The measure of its unfolding’s angle is equal to α. A curve on
the cone is represented on any unfolding by the union of line segments. Find the number of the curve’s
self-intersections.
6.2.9-10.2. Which is greater: 300! or 100
300
?

---

28
MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS 1 – 59
6.2.9-10.3. The center of the circle circumscribing 4ABC is mirrored through each side of the triangle
and three points are obtained: O
1
, O
2
, O
3
. Reconstruct 4ABC from O
1
, O
2
, O
3
if everything else is erased.
6.2.9-10.4. Let a
1
, . . . , a
n
be positive numbers. Prove the inequality:
a
1
a
2
+
a
2
a
3
+
a
3
a
4
+ · · · +
a
n−1
a
n
+
a
n
a
1
≥ n.
6.2.9-10.5. How many positive integers x less than 10 000 are there such that 2
x
− x
2
is divisible by 7 ?
Olympiad 7 (1941)
Tour 7.1
Grades 7 − 8
7.1.7-8.1. Construct a triangle given its height and median — both from the same vertex — and the
radius of the circumscribed circle.
7.1.7-8.2. Find the number 523abc divisible by 7, 8 and 9.
7.1.7-8.3. Given a quadrilateral, the midpoints A, B, C, D of its consecutive sides, and the midpoints
of its diagonals, P and Q. Prove that 4BCP = 4ADQ.
7.1.7-8.4. A point P lies outside a circle. Consider all possible lines drawn through P so that they
intersect the circle. Find the locus of the midpoints of the chords — segments the circle intercepts on these
lines.
7.1.7-8.5. Prove that 1 plus the product of any four consecutive integers is a perfect square.
Grades 9 − 10
7.1.9-10.1. See Problem 7.1.7-8.2.
7.1.9-10.2. On the sides of a parallelogram, squares are constructed outwards. Prove that the centers
of these squares are vertices of a square.
7.1.9-10.3. A polynomial P (x) with integer coefficients takes odd values at x = 0 and x = 1. Prove
that P (x) has no integer roots.
7.1.9-10.4. Given points M and N , the bases of heights AM and BN of 4ABC and the line to which
the side AB belongs. Construct 4ABC.
7.1.9-10.5. Solve the equation:
|x + 1| − |x| + 3|x − 1| − 2|x − 2| = x + 2.
7.1.9-10.6. How many roots does equation sin x =
x
100
have?
Tour 7.2
Grades 7 − 8
7.2.7-8.1. Prove that it is impossible to divide a rectangle into five squares of distinct sizes. (Cf.
Problem 7.2.9-10.1.)
7.2.7-8.2*. Given 4ABC, divide it into the minimal number of parts so that after being flipped over
these parts can constitute the same 4ABC.
7.2.7-8.3. Consider 4ABC and a point M inside it. We move M parallel to BC until M meets CA, then
parallel to AB until it meets BC, then parallel to CA, and so on. Prove that M traverses a self-intersecting
closed broken line and find the number of its straight segments.
7.2.7-8.4. Find an integer a for which (x − a)(x − 10) + 1 factors in the product (x + b)(x + c) with
integers b and c.
7.2.7-8.5. Prove that the remainder after division of the square of any prime p > 3 by 12 is equal to 1.
7.2.7-8.6. Given three points H
1
, H
2
, H
3
on a plane. The points are the reflections of the intersection
point of the heights of the triangle 4ABC through its sides. Construct 4ABC.