60-odd years of moscow mathematical

Tour 33.1
Grade 7
33.1.7.1. Two black checkers are positioned on two neighboring black squares on the diagonal of an
infinite (in two perpendicular directions) chessboard. Is it possible to place several black checkers and a
white one on the chessboard so that the white checker could jump all black checkers in one move?
33.1.7.2. We number 99 cards 1 through 99. Then we shuffle the cards, lay them out with the blank
sides up and number the blank sides 1 through 99. We sum the two numbers of every card and multiply the
99 sums. Prove that the product is an even number.
33.1.7.3. Point O lies inside an equilateral triangle ABC. It is known that ∠AOB = 113
◦
, ∠BOC =
123
◦
. Find the angles of the triangle whose sides are equal to segments OA, OB, OC; see Fig. Probl.
33.1.7.3.
Figure 72. (Probl. 33.1.7.3)
33.1.7.4. A set has 100 weights, the difference between every two of them is ≤ 20 g. Prove that it is
possible to put the weights on the pans of a balance, 50 weights on each pan, so that the difference between
the weights of the pans is ≤ 20 g.
33.1.7.5. There are 1000 cottages in a town X; just one person occupies each cottage. One day, every
man moves to another cottage and every cottage has again one occupant. Prove that it is possible to paint
all 1000 cottages blue, green or red so that, for every person, the color of his/her new new cottage is distinct
from the color of the old cottage.
Grade 8
33.1.8.1. See Problem 33.1.7.2.
33.1.8.2. The circle is inscribed in pentagon ABCDE whose sides are integer numbers and AB = CD =
1. Find the length of the segment BK, where K is the tangency point of BC with the circle.
33.1.8.3. There are 16 black points on a rectangular piece of paper. We connect a pair of points by the
segment. Consider a rectangle one of whose diagonals is this segment and whose sides are parallel to the
sides of the paper. We paint the rectangle red (black points are visible through the red paint). We do so
with every pair of points and get a painted figure on the paper.
How many sides can the figure have for various positions of the points?
33.1.8.4. Each pan of a balance has k weights, numbered from 1 to k. The left pan is heavier. It turns
out that if we interchange the places of any two weights with the same number, then either the right pan
becomes heavier or the two pans reach an equilibrium. For what k this is possible?

---

OLYMPIAD 33 (1970)
97
33.1.8.5. 12 players took part in a tennis tournament. It is known that every two of them played with
one another only once and that there was no player who was always beaten. Prove that among these 12
there are players A, B, and C such that B was beaten by A, C by B, and A by C.
Grade 9
33.1.9.1. 113 kings lived each in his own palace along a straight road. Every morning one of the kings
gave a reception which all the others attended, and every evening the servants transported the kings back
home. In this way they lived for a year without doing anything else and lieve of absence. Prove that during
this year one of the kings who lived at one of the road’s ends collected the biggest milage.
33.1.9.2. What is the greatest number of black checkers that one can place on on black squares of an
8 × 8 checker-board so that a white checker can jump all of them in one move without becoming a king?
33.1.9.3. A given 999-digit number is such that erasing all but any 50 of its successive digits yields
a number (that may begin with zeroes or just be zero) divisible by 2
50
. Prove that the given number is
divisible by 2
999
.
33.1.9.4. Construct triangle 4ABC given the radius of the circumscribed circle and the bisector of
angle ∠A, and knowing that ∠B − ∠C = 90