60-odd years of moscow mathematical

participated in the tournament and how many points they got.
32.1.7.4. Prove that no power of 2 can end with four identical digits.
32.1.7.5. 1000 regular wooden 100-gons are nailed to the floor. We stretch a rope around the entire
system using the nails. Prove that the polygon formed by the rope has more than 99 vertices. (Cf. Problem
32.1.8.2.)
Grade 8
32.1.8.1. See Problem 32.1.7.4.
32.1.8.2. 57 regular wooden 57-gons are nailed to the floor. We stretch a rope around the entire system
using the nails. Prove that the polygon formed by the rope has more than 56 vertices. (Cf. Problem
32.1.7.4.)
32.1.8.3. A white rook is chasing a black knight across a 3 × 1969 chessboard (they move in turns
according to common rules). How should the rook play to jump the bishop if the white makes the first
move? (Cf. Problem 32.1.7.1.)
32.1.8.4. Given segment AB. Find the locus of points C such that m
b
= h
a
in 4ABC (see Fig. 68).
Figure 68. (Probl. 32.1.8.4)
32.1.8.5. Is it possible to write 20 numbers in a row so that the sum of any three consecutive numbers
is strictly positive, and the sum of all 20 numbers is strictly negative? (Cf. Problem 32.1.9.3.)
Grade 9
32.1.9.1. Find all positive integers x such that we can subtract the same nonzero digit a from each digit
of x (this means that every digit of x is not less than a) and get the number (x − a)
2
.
32.1.9.2. The Tolpygo Island is of the form of a polygon. There are several countries are on the island.
Each country is of the form of a triangle and every two countries bordering along (parts of) their sides have
an entire side in common, i.e., a vertex of one triangle never lies on the side of another triangle (except at a
vertex). Prove that it is possible to paint the map of the island three colors, one color for each country and
so that any two bordering countries are painted different colors.
32.1.9.3. Is it possible to write 50 numbers in a row so that the sum of any 17 consecutive numbers is
strictly positive, and the sum of any 10 consecutive numbers is strictly negative? (Cf. Problem 32.1.8.5.)
32.1.9.4. See Problem 32.1.7.4.
32.1.9.5. There are 500 towns in Tsar Dodon’s kingdom, each in the form of a regular 37-angled star,
with towers at the vertices. Tsar Dodon decides to wall the towers in a convex wall so that every segment
of the wall connects two towers. Prove that the wall will consist of not less than 37 segments, provided we
count segments on the same straight line only once.

---

OLYMPIAD 32 (1969)
93
Grade 10
32.1.10.1. Particles emitted by a betatron move along a straight line through two identical thin hoops
situated in perpendicular planes so that each hoop passes through the center of the other. Along what
straight line should the particles move so as to be as far from the hoops as possible, i.e., so that the shortest
distance between the particle and the hoops were the longest possible?
32.1.10.2. An infinite sequence of numbers a
1
, . . . , a
n
, . . . is periodical, with period 100, i.e., a
1
= a
101
,
a
2
= a
102
, . . . . It is known that a
1
≥ 0, a
1
+a
2
≤ 0, a
1
+a
2
+a
3
≥ 0, and, generally, the sums a
1
+a
2
+· · ·+a
n
are alternately non-negative if n is odd or non-positive if n is even. Prove that |a
99