60-odd years of moscow mathematical

k
be the number of all broken lines
of length k beginning at a fixed known node O of the graph (all broken lines are constituted by segments of
the graph). Prove that p
k
< 2 · 3
k
for any k.
22.1.9.5*. Prove that there is no tetrahedron such that each its edge is a leg of an obtuse planar angle.
Grade 10
22.1.10.1. Prove that there are no integers x, y, z such that x
k
+ y
k
= z
k
for an integer k > 0 provided
z > 0, 0 < x < k, 0 < y < k.
22.1.10.2. See Problem 22.1.8.3.
22.1.10.3. Can there be a tetrahedron each edge of which is a side of an obtuse planar angle? (Cf.
Problem 22.1.9.5.)
22.1.10.4. In a square N × N table, the numbers 1 to N
2
are written in the following way: 1 can stand
at any place, 2 can occupy the row with the same index as that of the column containing 1, number 3 can
occupy the row with the same number as that of the column containing 2, etc. What is the difference between
the sum of the numbers in the row containing 1 and the sum of the numbers in the column containing N
2
?
22.1.10.5. Consider a sequence a
1
≥ a
2
≥ a
3
≥ · · · ≥ a
n
≥ . . . of positive numbers such that
a
1
=
1
2k
; a
1
+ a
2
+ · · · + a
n
+ · · · = 1.
Prove that there are k numbers in the sequence such that the least of these k number is greater than half
the greatest.
Tour 22.2
Grade 7
22.2.7.1. For a
1
> a
2
> · · · > a
n
and b
1
> b
2
> · · · > b
n
prove that
a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ · · · + a
n
b
n
> a
1
b
n
+ a
2
b
n−1
+ · · · + a
n
b
1
.
22.2.7.2. Given 4ABC, find a point whose reflection through any side of the triangle lies on the
circumscribed circle.
22.2.7.3. What should 999 999 999 be multiplied by to get a number whose decimal expression contains
only 1’s?
22.2.7.4. Prove that the digits of any six-digit number can be permuted so that the difference between
the sum of the first and the last three digits of the new number is less than 10.
22.2.7.5. Consider n numbers x
1
, . . . , x
n
each equal to 1 or −1. Prove that if
x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ · · · + x
n−1
x
n
+ x
n
x
1
= 0,
then n is divisible by 4.
Grade 8
22.2.8.1. See Problem 22.2.7.5. This problem can be reformulated in a “romantic” way: some of n
knights sitting at a round table are enemies. The number of knights whose left neighbors are their friends is
equal to the number of knights whose left neighbors are their enemies. Prove that n
..
. 4.

---

64
MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS 1 – 59
22.2.8.2*. Consider 12 numbers a
1
, . . . , a
12
such that