60-odd years of moscow mathematical

x
1
x
2
x
3
. . . x
1961
x
1962
= 1,
x
1
− x
2
x
3
. . . x
1961
x
1962
= 1,
x
1
x
2
− x
3
. . . x
1961
x
1962
= 1,
x
1
x
2
x
3
. . . x
1961
− x
1962
= 1,
find what values x
25
can take.
25.1.9.5. Prove that in a rectangle of area 1 nonintersecting circles can be arranged so that the sum of
their radii is equal to 1962.
Grade 10
25.1.10.1. See Problem 25.1.9.1, the segments being replaced with intersecting rays. (See Fig. 45.)
Figure 45. (Probl. 25.1.10.1)
Figure 46. (Probl. 25.1.10.2)
25.1.10.2. The sides of a square are the bases of equal acute isosceles triangles constructed outward.
Prove that the figure obtained cannot be divided into parallelograms. (See Fig. 46.)

---

72
MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS 1 – 59
25.1.10.3. Prove that any positive integer can be represented as the sum of several distinct terms of
the Fibonacci sequence 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . .
25.1.10.4. See Problem 25.1.9.4.
25.1.10.5. See Problem 25.1.7.5.
Tour 25.2
Grade 7
25.2.7.1. A ball rests at the side of a billiard table shaped in the form of a regular 2n-gon without
pockets. How should the ball be shot so that after reflections through all sides
1
(except the initial one)
exactly once it returns to the same point? Prove that for the pathes that consequtively reflect themselves
through neighboring sides the length of the ball’s path does not depend on the starting point.
25.2.7.2*. Let 4ABC be an isosceles triangle, AB = BC, BH its height, M the midpoint of AB, and
K the other intersection point of BH with the circle drawn through B, M and C. Prove that BK = 3R/2,
where R is the radius of the circle circumscribed around 4ABC.
25.2.7.3. An L-shaped figure (see Fig. 47) is constructed of three squares with side 1. Prove that a) it
is impossible to split a rectangle of size 1961 × 1963 into such figures but b) it is possible to do so with a
rectangle of size 1963 × 1965.
Figure 47. (Probl. 25.2.7.3)
Figure 48. (Probl. 25.2.8.5)
25.2.7.4. Prove that the number 100...01 with 1961 zeros between the 1’s is not a prime.
25.2.7.5. Given 25 points on a plane such that from any three points we can choose two points that are
less than 1 unit of length apart. Prove that 13 of the given points lie on a unit disc.
Grade 8
25.2.8.1. Several diagonals in a convex polygon satisfy the following condition: no two of them intersect
except at an endpoint identical with a vertex. Prove that no diagonal come out of at least 2 vertices of this
polygon.
25.2.8.2. How should one arrange the numbers 1, 2, . . . , 1962 in a sequence a
1
, a
2
, . . . , a
1962
in order to
obtain the greatest possible value of the sum
|a
1
− a
2
| + |a
2
− a
3
| + · · · + |a
1961
− a
1962
| + |a
1962
− a
1
| ?
25.2.8.3. An irregular n-gon is inscribed in a circle. After a rotation of the circle around its center
through an angle of α 6= 2π the n-gon coincides with itself. Prove that n is not prime.
25.2.8.4*. From the numbers x
1