60-odd years of moscow mathematical

◦
.
26.1.10.3. What is the greatest number of squares that a line drawn on an m × n piece of graph paper
can intersect?
26.1.10.4. Given numbers a, b, c such that abc > 0 and a + b + c > 0, prove that a
n
+ b
n
+ c
n
> 0 for
any positive integer n.
26.1.10.5. Given an arbitrary 4ABC, find the locus of points M such that the perpendiculars to lines
AM , BM , CM dropped from points A, B, C, respectively, meet at one point.
Grade 11
26.1.11.1. Prove that x + y + z > xyz if x, y, z > 0 and
arctan x + arctan y + arctan z < π.
26.1.11.2. Consider a system of 25 distinct segments with a common endpoint at point A and other
endpoints lying on a line l not passing through A. Prove that there does not exist a closed 25-angled broken
line each of whose segments is parallel and equal to one of the segments from the system considered.
26.1.11.3. See Problem 26.1.10.5.
26.1.11.4. Prove that the sum of all possible 7-digit numbers in whose decimal expression each of the
figures 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 is used exactly once is divisible by 9.
26.1.11.5. Each edge of a regular tetrahedron is divided into three equal parts. Through each division
point two planes are drawn parallel to the two faces of the tetrahedron that do not pass through this point.
Into how many parts do these planes divide the tetrahedron?
Tour 26.2
Grade 7
26.2.7.1. A factory produces rattles shaped in the form of a ring with 3 red and 7 blue spherical beads
on it. Two rattles are said to be of the same type if one can be obtained from the other one by moving
a bead along the ring or by flipping the ring over in space. How many different types of rattles can be
manufactured?
26.2.7.2. See Problem 26.2.9.2.
26.2.7.3. Given 4ABC. Consider straight line intersecting sides AB and AC of the triangle so that
the distance from the line to point A is equal to the sum of the distances from the line to points B and C.
Prove that all such lines pass through one point.
26.2.7.4. What greatest number of elements can be selected from the set of numbers 1, 2, . . . , 1963 so
that the sum of any two of the selected numbers is divisible by 26?
26.2.7.5. A system of segments is called connected if from the endpoints of any segment any of endpoints
of any other segment can be reached by moving along the segments. We assume that it is impossible to
pass from one segment to another one at intersection points other than those of connection. Is it possible to
connect five points by segments into a connected system so that after erasing any of its segments one gets
exactly two connected systems of segments, disconnected from each other?

---

76
MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS 1 – 59
Grade 8
26.2.8.1. Let a
1
, . . . , a
n
be arbitrary positive integers. Denote by b
k
the number of integers that satisfy
a
i
≥ k. Prove that
a
1
+ a
2
+ · · · + a
n
= b
1
+ b
2
+ . . . .
26.2.8.2. An 8 × 8 table contains all integers from 1 to 64. The numbers are called adjacent if the
squares they are written upon have a common side. Prove that there exist two adjacent numbers whose
difference is not less than 5.
26.2.8.3. Find the set of the centers of mass of all acute triangles inscribed in a given circle.
26.2.8.4. What greatest number of integers can be selected from the set 1, 2, . . . , 1963 so that no sum
of any two selected numbers were divisible by their difference?
26.2.8.5*. Three gentlemen walk along a path 100 meters long at a constant speed of 1, 2, and 3 km/hr,
respectively. Reaching the end of the path each of them turns and goes back at the same speed. Prove that
there is an interval of 1 minute during which all three gentlemen walk in the same direction.