60-odd years of moscow mathematical

◦
.
33.1.9.5. A wise cockroach who cannot see farther than 1 cm decided to find the Truth. The latter is
located at a point D cm away from the cockroach. The cockroach can move step by step, each step not
longer than 1 cm, and after each step the cockroach is told whether (s)he is closer to the Truth or not. The
cockroach remembers everything, in particular, the directions of his/her steps. Prove that (s)he can find the
Truth taking not more than
3D
2
+ 7 steps.
Grade 10
33.1.10.1. Given 19 weights, each of an integer mass (in grams) that does not exceed 70 grams, prove
that it is impossible to compose more than 1230 different masses of these weights.
33.1.10.2. Two non-intersecting circles O
1
and O
2
are inscribed into angle ABC. Denote by M the
tangent point of O
1
and BA, and by P the tangent point of O
2
and BC. Prove that the chords that circles
O
1
and O
2
intercept on straight line M P are of equal length. (See Fig. 73)
Figure 73. (Probl. 33.1.10.2)
33.1.10.3. We strike out the first digit of the number 2
1970
and add it to the obtained number. We
perform the same operation with the resulting number, and so on, until we get a 10-digit number. Prove
that this 10-digit number has two identical digits.
33.1.10.4. Given 200 points on a plane, no three of which are on the same straight line, find whether it
is possible to number these points 1 to 200 so that every two of the hundred straight lines through points 1
and 101, 2 and 102, . . . , 100 and 200 intersect.
33.1.10.5. There are crosses in some of the squares of a 100 × 100 table. It is known that there is at
least one cross in every row and in every column. Prove that it is possible to mark 10 rows and 10 columns
so that if we erase all crosses in the marked rows and columns, at least one cross will still be left in every
unmarked row and column.

---

98
MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS 1 – 59
Tour 33.2
Grade 7
33.2.7.1. Prove that if a positive integer k is divisible by 999 999 999, then there are more than 8 non-zero
digits in its decimal expression.
33.2.7.2. 100 points are marked on a circle of radius 1. Prove that it is possible to find a point on the
circle such that the sum of the distances from it to all the other marked points is greater then 100.
33.2.7.3. In a park, 6 narrow alleys of equal length are arranged as the sides and medians of a square.
A boy Kolya is running away from his Mother and Father along these alleys. All three can see each other at
all times. Can the parents catch the boy if he runs three times faster than any of his parent?
33.2.7.4. A straight cut divides a square piece of paper into two parts. Another straight cut divides
one of the parts into two parts. One of the three pieces of paper obtained is again cut into two parts along
a line, and so on. What least number of cuts must one do in order to obtain 73 various (perhaps, equal)
30-gons? (Cf.Problem 33.29.4.)
33.2.7.5. King Louis distrusted some of his courtiers. He made a full list of his courtiers and told every
one of them to keep an eye on one of the rest. The first one was to spy on the courtier who was spying on
the second, the second one was to spy on the one who was spying on the third, and so on, the penultimate
one was spying on the courtier who was spying on the last, and the last was spying on the one who was
spying on the first. Prove that King Louis had an odd number of courtiers.
Grade 8
33.2.8.1. There are n points inside a circle of radius 1 m. Prove that there exists a point inside the
circle or on its perimeter such that the sum of the distances between it and all the other points is not less
than n m. (Cf. Problem 33.2.7.2).
33.2.8.2. A monkey ran away from its cage in a small zoo. Two guards are trying to catch it. Both
of the guards and the monkey obey The Rule and run only along the paths. There are 6 straight paths in
the zoo: 3 long paths form an equilateral triangle, 3 shorter ones connect the midpoints of its sides. Every
moment the monkey and the guards can see each other. At the beginning the guards are at one vertex of
the triangle and the monkey at another one. Can the guards catch the monkey if the monkey runs three
times faster than the guards? (Cf. Problem 33.2.7.3.)
33.2.8.3. In a park grow 10 000 trees. They had been square-cluster
1
planted in 100 rows with 100 trees
in each row. What maximum number of these trees can one cut down under the following Rule: standing
on any stump, one should be unable to see any other stump behind the trees? The trees are considered to
be sufficiently thin.
33.2.8.4. On a roll of paper tape there are written 80 non-zero digits. We cut the tape across into
several strips so that there is more than one digit on each strip. Then we add the numbers formed by the
digits on each strip. Prove that there exist two distinct ways of cutting the tape to get equal sums.
33.2.8.5. A flat corridor of width 1 m is of the shape of letter Γ and infinite in both directions. There
is a flat piece of rigid wire of the form of a nonclosed brocken line. Prove that if the distance between the
endpoints of the wire is > 2 + 2