60-odd years of moscow mathematical

√
2 m, then it is impossible to carry the wire along the whole length of the
corridor without tilting. Cf. Problem 33.2.9.2.
Grade 9
33.2.9.1. A toy railroad has n components each in the form of a quarter of a circle with radius 10 cm.
Their endpoints are joined in succession so that they fit to form a smooth track. Prove that it is impossible
to construct a railroad that would begin and end in the same place, with its first and the last components
forming an angle of 0, as shown on Fig. 74.
33.2.9.2. A flat infinite L-shaped corridor is of width 1 m. What is the greatest possible distance
between the endpoints of a length of rigid wire (not necessarily straight but flat) such that it is possible to
pull the wire through the corridor without tilting? (See Fig. 75)
33.2.9.3. There are plus signs in all squares of a 100 × 100 table. The Rule permits to simultaneously
change the signs in all squares of any one row or column. Is it possible to get 1970 minus signs under the
Rule?
1
A method of planting advocated by the then ex-leader of the Soviet Union, N. Khrushchev, as the most advanced and
best suited to overtake America in agricultural production. The method was abolished. (Perhaps, unwisely?)

---

OLYMPIAD 33 (1970)
99
Figure 74. (Probl. 33.2.9.1)
Figure 75. (Probl. 33.2.9.2)
33.2.9.4. A straight line cuts a square piece of paper into two parts. Another straight line cuts one of
the parts into two parts. One of the three pieces of paper obtained is again cut into two parts along a line,
and so on. What least number of lines must be drawn in order to obtain 100 various (perhaps, (perhaps,
identical) 20-gons? Cf. Problem 33.2.7.4.
33.2.9.5. Three spiders and a wingless fly are crawling along the edges of a wire cube. The top speed
of the fly is three times that of the spiders. At the beginning, all spiders sat at one vertex of the cube and
the fly at the opposite vertex. Can the spiders catch the fly? (The spiders and the fly see each other at all
times.)
Grade 10
33.2.10.1*. A 19-hedron is circumscribed around a sphere of radius 10. Prove that on the surface of
the polyhedron there are two points with the distance between them ≥ 21.
33.2.10.2. Prove that if an integer K is divisible by 10 101 010 101, then there are at least 6 non-zero
digits in the decimal expression of K.
33.2.10.3*. See Problem 33.2.9.5, where two spiders are chasing a fly and all have the same top speed.
33.2.10.4. Given an integer n > 1970, prove that the sum of the remainders after division of 2
n
by 2,
3, 4, . . . , n is greater than 2n.
33.2.10.5. Merlin has two 100 × 100 tables; one of them is blank, and on the other table some magic
numbers are written. The blank table is nailed to a rock at the entrance to his cave, and the magic one is
nailed to a wall inside the cave. You may outline any square (1 × 1, 2 × 2, . . . , or 100 × 100) on the blank
table, at any place on the table but only along the lines, and for a shilling Merlin will tell you the sum of
the numbers of the corresponding square in the magic table. What is the least amount of money one needs
to learn the sum of the numbers on the main diagonal of the magic table?
Additional set (Pythagoras’ Day)
Grade 7
33.D.7.1. We multiply the number 1234567 . . . 1000 (juxtaposed are all natural numbers 1 to 1000) by
a number from 1 to 9, and strike out all 1’s in the product. We multiply the number obtained by a nonzero
one-digit number once again, and strike out the 1’s, and so on, many times over. What is the least number
one can obtain in this manner?
33.D.7.2. A 13×13 m
2
hall is divided into squares with sides of 1 m. The Rule requires that rectangular
rugs of arbitrary sizes be placed on the floor so that their sides lie on the sides of the squares; in particular,
along the side of the hall. Any rug may be partially or even completely covered by other rugs but no single
rug may completely cover, or lie under, another rug (even if there are several layers between them). What
greatest number of rugs may cover the hall under this Rule?
33.D.7.3. In an ordinary game of dominoes the difference between the numbers on adjacent displayed
tiles is equal to 0. Is it possible to arrange all 28 tiles in a closed chain so that the difference throughout the
chain would be equal to ±1?
33.D.7.4. Is it possible to divide the numbers 1, 2, 3, . . . , 33 into 11 groups, three numbers in each
group, so that in any group one of the numbers is equal to the sum of the other two?

---

100
MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS 1 – 59
33.D.7.5. Ali Baba tries to enter the cave. At the entrance to the cave there is a drum with four holes
in its sides. Inside the drum, next to each hole, there is a switch which has two positions, “up” and “down”.
The Rule permits Ali Baba to stick his fingers into any two holes, learn the position of their switches (by
touch) and flip them as he pleases (for example not to flip at all). Then the drum is rotated very quickly so
that after it stops it is impossible to ascertain which switches were flipped or touched last. Ali Baba may
repeat the operation up to 10 times. The door to the cave opens the moment all the switches are in the
same position. Prove that Ali Baba can get into the cave.
33.D.7.6. It is known that objects A and B cannot both fit into the picture taken by a camera at point