60-odd years of moscow mathematical

Grade 8
34.2.8.1. Consider a 29-digit number X = a
1
a
2
...a
28
a
29
such that for every k the digit a
k
occurs a
30−k
times in the expression of X. (For example, if a
10
= 7, then the digit a
20
occurs 7 times.) Find the sum of
the digits of X.
34.2.8.2. We cut a cardboard (perhaps, non-convex) 1000-gon along a straight line. This cut brakes it
into several new polygons. What is the greatest possible number of triangles among the new polygons?
34.2.8.3. Prove that the sum of the digits of a positive integer K is not more than 8 times the sum of
the digits of the number 8K.
34.2.8.4. Take any number consisting of zeros and fours in its decimal expression. Now, we can either
divide it by 2, 3 or 5 if this division is possible without a remainder, or insert 0’s or 4’s between the digits of
this number, or write a 4 at the beginning or at the end, or write a 0 at the end. With the number obtained
we can repeat the same operations, and so on. Is it possible to obtain in this way any positive integer?
34.2.8.5. See Problem 34.2.7.2.
Grade 9
34.2.9.1. A convex 1971-gon is such that for every vertex A, every side that does not pass through A
subtends equal angles with the angle’s vertex in A. Prove that the polygon is a regular one.
34.2.9.2. See Problem 34.2.8.1.
34.2.9.3. Is it possible to divide every side of a square into 100 parts so that it would be impossible to
contour with these 400 segments any rectangle other then the initial square?
34.2.9.4. A circle is divided into n equal parts, and the numbers x
1
, x
2
, . . . , x
n
equal to either 1 or −1
are written at the division points so that if one turns the circle through an angle of k ·
360
◦
n
and multiplies
the numbers at points coinciding before and after the rotation, the sum of n products thus obtained is equal
to 0 for any k = 1, . . . , n − 1. Prove that n is a perfect square. (Cf. Problem 34.2.10.1.)
34.2.9.5. Prove that it is possible to write non-zero real numbers x
1
, x
2
, . . . , x
n
at the vertices of a
regular n-gon so that for any regular k-gon all of whose vertices are the vertices of the original n-gon, the
sum of the numbers at its vertices is equal to 0.
Grade 10
34.2.10.1. See Problem 34.2.9.4 with additional question: what might number n be?
34.2.10.2. Given numbers a
1
, . . . , a
n
and b
1
, . . . , b
n
, arrange the numbers a
k
in the increasing order
and numbers b
k
in the decreasing order. We get sets a
∗
1
≤ · · · ≤ a
∗
n
and b
∗
1
≥ · · · ≥ b
∗
n
. Prove that
max(a
1
+ b
1
, a
2
+ b
2
, . . . , a
n
+ b
n
) ≥ max(a
∗
1
+ b
∗
1
, a
∗
2
+ b
∗
2
, . . . , a
∗
n
+ b
∗
n
).

---

OLYMPIAD 35 (1972)
103
34.2.10.3. Banker and Gambler play the following hazardous game. Banker names a 1000-digit number,