7-mashg’ulot. Chiziqli fazolar

21.9-misolning yechimi. Ma’lumki, (21.4) va (21.5) tengliklar yordamida aniqlangan funksiyalarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari chiziqli fazo ta’rifidagi 1-8 shartlarni qanoatlantiradi. Shuning uchun berilgan to‘plamning bu amallarga nisbatan yopiqligini ko‘rsatish kifoya. kesmada uzluksiz funksiyalar yig‘indisi yana uzluksiz funksiya bo‘ladi. Endi shartning bajarilishini tekshiramiz. Shartga ko‘ra tenglik o‘rinli. Yuqoridagilardan , ya’ni shartga kelamiz. Bu holda funksiya uchun tenglik o‘rinli. Demak, kesmada aniqlangan, uzluksiz va shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to‘plami chiziqli fazo tashkil qiladi. Agar funksiyalar faqat haqiqiy qiymatlar qabul qilsa, bu fazo haqiqiy chiziqli fazo bo‘ladi. Agar funksiyalar kompleks qiymatlar qabul qilsa, u holda bu fazo kompleks chiziqli fazo bo‘ladi.
Quyida 21.10-21.12 misollarda chiziqli fazo va unda sistema berilgan. Uni chiziqli bog‘langanlikka tekshiring.

10. 
    .
    
11. 
    .
    
12. 
    .
    

21.10-misolning yechimi. elementlarning chiziqli kombi-natsiyasini fazoning nol elementiga tenglashtiramiz, ya’ni
.
Bu yerdan quyidagi tenglamalar sistemasini olamiz:

Bu sistema faqat nol yechimga ega. Shuning uchun sistema chiziqli erkli.
Quyida berilgan (21.13-21.16) fazolarning o‘lchamini toping.

13. 
    .
    
14. 
    .
    
15. 
    .
    
16. 
    .
    

Quyida berilgan va fazolarning izomorfligini isbotlang.

17. 
    .
    
18. 
    .
    
19. 
    .
    

21.17-misolning yechimi. Biyektiv moslikni quyidagi-cha aniqlaymiz
. (21.6)
Agar bo‘lsa, u holda va ko‘phadlar hech bo‘lmaganda bitta koeffit-siyenti bilan farq qiladi, ya’ni . Bu yerdan (21.6) tenglik bilan aniqlanuvchi akslantirishning inyektiv ekanligi kelib chiqadi. Ixtiyoriy kvadrat uchhad uchun tenglik o‘rinli, ya’ni syuryektiv akslantirish. Demak, biyektiv akslantirish ekan. va tengliklar (21.6) dan bevosita kelib chiqadi.