7-mashg’ulot. Chiziqli fazolar

21.6-ta’rif. o‘lchamli chiziqli fazoning ixtiyoriy ta elementdan iborat chiziqli erkli sistemasi shu fazoning bazisi deyiladi.
21.7-ta’rif. Agar chiziqli fazoda ixtiyoriy uchun elementli chiziqli erkli sistema mavjud bo‘lsa, u holda cheksiz o‘lchamli chiziqli fazo deyiladi va ko‘rinishda yoziladi.
Endi biz mavzuga oid misollar qaraymiz. Quyidagi 21.1-21.5-misollarda to‘plam va unda yig‘indi va songa ko‘paytirish amallari berilgan. Bu amallar uchun chiziqli fazoning 1-8 aksiomalari bajarilishini tekshiring.

1. 
   haqiqiy sonlar to‘plami. Haqiqiy sonlar to‘plamida odatdagi qo‘shish va ko‘paytirish amallari.
   
2. 
   kompleks sonlar to‘plami. Kompleks sonlar to‘plamida kompleks sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish amallari.
   
3. 
   ta haqiqiy sonlarning tartiblangan guruhlaridan iborat to‘plam. Bu yerda elementlarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari quyidagicha aniqlanadi.
   

Ixtiyoriy , va lar uchun
(21.2)
. (21.3)
Yechimi. Qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari uchun chiziqli fazo aksiomalari bajarilishini tekshiramiz. Ixtiyoriy lar uchun ekanligi ma’lum. Xuddi shunday ixtiyoriy uchun munosabat o‘rinli. Haqiqiy sonlarni qo‘shish kommutativ va assotsiativ, shuning uchun quyidagi tengliklar o‘rinli:
,

.
da nol element rolini vektor bajaradi. Chunki ixtiyoriy uchun tenglik o‘rinli. elementga qarama-qarshi element bo‘ladi, chunki
.
Demak, 1-4 aksiomalar o‘rinli. Endi songa ko‘paytirish amali bilan bog‘liq aksiomalarning bajarilishini tekshiramiz. Ixtiyoriy lar uchun

tengliklar o‘rinli. Xuddi shunday

tenglik o‘rinli. Ixtiyoriy va lar uchun


tengliklar o‘rinli. Ixtiyoriy va lar uchun

=
tengliklar bajariladi. Demak, to‘plam haqiqiy chiziqli fazo bo‘ladi.

4. 
   . Bu yerda ham element-larni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari (21.2) va (21.3) tengliklar ko‘rinishida aniqlanadi.
   
5. 
   kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalar to‘plami. Funksiyalarni qo‘shish va funksiyani songa ko‘paytirish amal-lari mos ravishda
   

(21.4)
va
(21.5)
ko‘rinishda aniqlanadi.
Quyida keltirilgan to‘plamlar funksiyalarni qo‘shish ((21.4) ga qarang) va songa ko‘paytirish ((21.5) ga qarang) amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladimi? Qaysilari haqiqiy chiziqli fazo, qaysilari kompleks chiziqli fazo bo‘ladi (21.6-21.9).

6. 
   kesmada aniqlangan monoton funksiyalar to‘plami.
   
7. 
   kesmada aniqlangan toq funksiyalar to‘plami.
   
8. 
   kesmada aniqlangan juft funksiyalar to‘plami.
   
9. 
   kesmada aniqlangan, uzluksiz va shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to‘plami.