7-mashg’ulot. Chiziqli fazolar

Uy vazifasi uchun topshiriqlar.
Quyidagi 21.20-21.23-misollarda to‘plam va unda yig‘indi va songa ko‘paytirish amallari berilgan. Bu amallar uchun chiziqli fazoning 1-8 aksiomalari bajarilishini tekshiring.

20. 
    kvadrati bilan jamlanuv-chi ketma-ketliklar to‘plami. Bu yerda elementlarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari quyidagicha aniqlanadi:
    

(21.7)
. (21.8)
Yig‘indi ekanligi tengsizlikdan foydalanib isbotlanadi.

21. 
    nolga yaqinlashuvchi ketma-ketliklar to‘plami. Bu to‘plamda ham qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari (21.7) va (21.8) tengliklar ko‘rinishida aniqlanadi.
    
22. 
    barcha yaqinlashuvchi ketma-ketliklar to‘plami. Bu to‘plamda ham qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari (21.7) va (21.8) tengliklar ko‘rinishida aniqlanadi.
    
23. 
    barcha chegaralangan ketma-ketliklar to‘plami. Bu to‘plamda ham qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari (21.7) va (21.8) tengliklar ko‘rinishida aniqlanadi.
    

Endi Lebeg ma’nosida integrallanuvchi funksiyalar va o‘zgarishi chegaralangan funksiyalar to‘plamini qaraymiz.

24. 
    Berilgan kesmada o‘lchovli va Lebeg ma’nosida integrallanuvchi ekvivalent funksiyalar sinfini simvol bilan belgilaymiz. Bu to‘plamda elementlarni qo‘shish va elementni songa ko‘paytirish amallari (21.4) va (21.5) tengliklar bilan aniqlanadi.
    
25. 
    Berilgan kesmada o‘lchovli va -darajasi bilan Lebeg ma’nosida integrallanuvchi funksiyalar to‘plami simvol bilan belgilanadi. Bu to‘plamda ham qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari (21.4) va (21.5) tengliklar bilan aniqlanadi.
    
26. 
    Berilgan kesmada aniqlangan va o‘zgarishi chegaralangan funksiyalar to‘plamini bilan belgilaymiz. Bu to‘plamda ham funksiyalarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari (21.4) va (21.5) tengliklar bilan aniqlanadi.
    
27. 
    satr va ustundan iborat matritsalar to‘plamini bilan belgilaymiz. Bu to‘plamda qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari odatdagi matritsalarni qo‘shish va matritsani songa ko‘paytirish kabi aniqlanadi.
    
28. 
    darajasi dan oshmaydigan ko‘phadlar to‘plami. Ko‘phadlarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari (21.4) va (21.5) tengliklar bilan aniqlanadi.
    

Quyida keltirilgan to‘plamlar funksiyalarni qo‘shish ((21.4) ga qarang) va songa ko‘paytirish ((21.5) ga qarang) amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladimi? Qaysilari haqiqiy chiziqli fazo, qaysilari kompleks chiziqli fazo bo‘ladi (21.29-21.42).

29. 
    barcha ko‘phadlar to‘plami.
    
30. 
    kesmada aniqlangan marta uzluksiz diffe-rensiallanuvchi funksiyalar to‘plami.
    
31. 
    kesmada qisman chiziqli uzluksiz funksiyalar to‘plami.
    
32. 
    kesmada aniqlangan, uzluksiz va shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to‘plami.
    
33. 
    kesmada aniqlangan absolyut uzluksiz funksiyalar to‘plami.
    
34. 
    kesmada o‘zgarishi chegaralangan va shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to‘plami.
    
35. 
    da aniqlangan uzluksiz va davriy funksiyalar to‘plami.
    
36. 
    da aniqlangan chegaralangan funksiyalar to‘plami.
    
37. 
    kesmada aniqlangan va Lipshits shartini qanoatlantiruvchi funksiyalar to‘plami.
    
38. 
    Birlik doira da analitik va da uzluksiz funksiyalar to‘plami.
    
39. 
    kesmada aniqlangan uzluksiz va davriy funksiyalar to‘plami.
    
40. 
    da aniqlangan va shartni qanoatlan-tiruvchi funksiyalar to‘plami.
    
41. 
    da aniqlangan va shartni qanoatlan-tiruvchi funksiyalar to‘plami.
    
42. 
    kesmada o‘lchovli va kvadrati Lebeg ma’nosida integrallanuvchi funksiyalar to‘plami.
    

Quyida 21.43-21.49 misollarda chiziqli fazo va unda sistema berilgan. Uni chiziqli bog‘langanlikka tekshiring.

43. 
    .
    
44. 
    .
    
45. 
    .
    
46. 
    .
    
47. 
    , -Dirixle, - Riman funksiyasi.
    
48. 
    to‘plamni shunday tanlangki, elementlar fazoda chiziqli bog‘langan bo‘lsin. va elementlar biror bir da fazoda chiziqli bog‘langan bo‘ladimi?.
    
49. 
    to‘plamlarni shunday tanlangki, elementlar va fazolarda chiziqli bog‘langan bo‘lsin.