7-mavzu. Chiziqsiz dasturlash masalalari 1-ma’ruza rejasi

1-misol. Berilgan funktsiya ekstremumga tekshirilsin:

Yechish. Funktsiya ekstremumi mavjudligining zaruriy sharti:
=0
Bundan /x₁=0, /x₂=0, /x₃=0.

Bu tenglamalarda tuzilgan sistemaning yechimi X₀=(1/2, 2/3, 4/3) statsionar nuqta bo’ldi. Etarlik shartining bajarilishni tekshirish uchun Gesse matritsasini X₀ nuqtada tuzamiz:

H[X₀]= .
Bu matritsaning bosh minorlari mos ravishda - 2, 4, -6. Ma’lumki, agar matritsaning bosh minorlaridan tuzilgan sonlar ketma-ketligi ishora almashinuvchi bo’lsa, berilgan matritsa manfiy aniqlangan bo’ladi. Bundan ko’rinadiki, H[X₀] matritsa manfiy aniqlangan ekan. Demak, X₀ nuqtada funktsiya maksimumga erishadi. Yuqorida keltirilgan misolda ni ga almashtirib, X₀=(1/2,2/3,4/3) nuqtani minimum nuqta ekanligini ko’rsatish mumkin.
Agar H[X₀] noaniq matritsa bo’lsa, X₀ nuqta egilish nuqta bo’ladi, ya’ni bu nuqtada funktsiya ekstremumga erishmaydi. Buni quyidagi misolda ko’rsatamiz.
2-misol.

funktsiya ekstremumga tekshirilsin.
Yechish. Ekstremum mavjudligining zaruriy shartiga ko’ra
Demak /x₁=0, /x₂=0, ya’ni bo’lishi
kerak. Bu tenglamalardan tuzilgan sistemani yechib, X₀=(0,0) statsionar nuqtani hosil qilamiz. Bu nuqtani ekstremal nuqta bo’lishlik shartini tekshirish uchun Gesse matritsasini tuzamiz
H= .

Bu matritsaning bosh minorlari: M₁₁=6>0, M₂₂=0. Matritsa determinanti esa -64<0. Demak Gesse matritsasining ishorasi aniqlanmagan. Bu holda X₀=(0,0) nuqta egilish nuqta bo’ladi.

Yuqorida ko’rilgan teoremadagi ekstremum mavjudligining etarlilik shartlari bir argumentli funktsiya uchun quyidagicha bo’ladi. Faraz qilaylik, x₀ statsionar nuqta bo’lsin, u holda bo’lsa, x₀ statsionar nuqtada funktsiya maksumimga bo’lganda esa minimumga erishadi. Agar bo’lsa, yuqori tartibli hosilalarning x₀ nuqtadagi qiymatlarini tekshirish kerak. Bu holda quyidagi teorema o’rinlidir.